Построй график функции { y = − x 2 , если ∣ x ∣ ≤ 1 , y = ∣ x ∣ − 2 , если ∣ x ∣ > 1 { y=−x 2 ,если∣x∣≤1, y=∣x∣−2,если∣x∣>1 ​ и определи, при каких значениях m m функция y = m y=m…

Давайте подробно разберём задачу по построению графика функции и определения условий, при которых линия y = m имеет ровно три общие точки с этим графиком.

Часть 1: Построение графика функции

Заданная функция:

\[ y = \begin{cases} -x^2, & \text{если } |x| \le 1 \\ |x| - 2, & \text{если } |x| > 1 \end{cases} \]

Шаг 1: Построение части для \(|x| \le 1\)
Это — парабола: \[ y = -x^2 \]

• В точках \(x = -1\) и \(x = 1\): \[ y = -(-1)^2 = -1, \quad y = -(1)^2 = -1 \]
• В точке \(x=0\): \[ y = -0^2 = 0 \]
• Парабола имеет вершину в точке \((0, 0)\) и симметрична относительно оси \(y\).

Шаг 2: Построение части для \(|x| > 1\)
Это две кусочные гиперболические ветви:

• для \(x > 1\): \[ y = x - 2 \]
  • при \(x=1\): \(y = 1 - 2 = -1\)
  • при больших \(x\): \(y\) возрастает линейно без ограничений
• для \(x < -1\): \[ y = -x - 2 \]
  • при \(x = -1\): \(y = -(-1) - 2 = 1 - 2 = -1\)
  • при больших по модулю отрицательных \(x\): \(y\) убывает линейно.

Общий вид:

• На интервале \(|x| \le 1\) — внизоглая парабола от \((-1, -1)\) до \((0,0)\) и затем до \((1, -1)\).
• За границами \(|x|=1\) — две линейные ветви, стыкующиеся в точках \((-1, -1)\) и \((1, -1)\).

Часть 2: Анализ пересечений линией \(y = m\)

Нам нужно найти для каких значений \(m\) прямая \(y = m\) пересекает график функции ровно 3 раза.

Рассмотрим случае по частям:

1. Когда \(m > 0\)
   — линия выше вершины параболы — пересечения только с линейными сегментами \(|x| > 1\)?

   Проверим:

   • Внутри \(|x| \le 1\): \(y = -x^2 \le 0\), значит \(y \le 0\). Виды пересечений:
     • \(m > 0\): линия не пересекает параболу, поскольку \(y \le 0\).
     • \(m \le 0\): пересечения внутри \(|x| \le 1\): \[ -x^2 = m \Rightarrow x = \pm \sqrt{-m} \] Если \(-m \ge 0\), то \(\sqrt{-m}\) существует, и пересечений 2.

   Тогда, чтобы получить ровно 3 пересечения с графиком, необходимо:

   • 1 пересечение с линиями вне интервала \(|x| \le 1\)
   • • 2 пересечения внутри \(|x| \le 1\)

Часть 3: Поиск условий для ровно 3 точек

Чтобы было ровно три пересечения, возможны следующие ситуации:

• Линия \(y=m\) пересекает параболу в 2 точках внутри \(|x| \le 1\), и в 1 точке с внешней линейной частью (\(|x| > 1\)).
• Или наоборот, одна точка внутри, две снаружи, но по графику это невозможно, т.к. внутри максимум 2 пересечения

Рассмотрим подробнее:

• Внутри \(|x| \le 1\): \[ y = -x^2 \Rightarrow x = \pm \sqrt{-m} \] — есть пересечения, если \(-m \ge 0 \Rightarrow m \le 0\).

  Количество таких решений:

  • Если \(m < 0\), есть 2: \(\pm \sqrt{-m}\);
  • Если \(m = 0\), есть 1 — в вершине.

• Внешние части:

  для \(x > 1\): \[ y = x - 2 \] — пересечения с \(y=m\): \[ x = m+2 \] — существует, только если \(x > 1\), то есть: \[ m + 2 > 1 \Rightarrow m > -1 \]

  Аналогично для \(x < -1\): \[ y=m = -x - 2 \Rightarrow x = -m - 2 \] — существует, если \(-m - 2 < -1\) (так как это \(x < -1\)): \[ -m - 2 < -1 \Rightarrow -m < 1 \Rightarrow m > -1 \]

ИТОГ:

• Пересечение с внешними линиями есть, если \(m > -1\).
• Внутри — если \(m \le 0\).

Итог: для ровно трёх пересечений

1. Если \(m > -1\) и \(m < 0\):
   Внутри есть 2 точки, снаружи — по 1 на каждой ветке, итого три пересечения.

2. Если \(m = 0\):
   Внутри — 1 точка (в вершине), снаружи — две точки (\(x=1\) и \(x=-1\)), итого 3 пересечения.

3. Если \(m > 0\):
   Внутри — пересечений нет, только с внешними линиями, и при \(m> -1\), но \(m>0\), пересечений всего 2 (по одной слева и справа), недостаточно для трёх.

Ответ:

\[ \boxed{ \text{Прямая } y = m \text{ имеет ровно 3 общие точки с графиком, если } -1 < m \le 0 } \]

Если нужно более подробно или по каким-либо этапам разбор, скажите!