Чтобы найти точку пересечения отрезков (AB) и (CD), сначала нужно найти уравнения этих отрезков, а затем решить систему уравнений, чтобы найти точку их пересечения.
Шаг 1. Записать координаты точек
- (A(-4, -5))
- (B(10, 2))
- (C(-4, 4))
- (D(-1, -8))
Шаг 2. Найти уравнение отрезка (AB)
Найдём коэффициенты уравнения прямой по двум точкам.
Формула для наклона (коэффициента (k)):
[
k_{AB} = \frac{y_B - y_A}{x_B - x_A} = \frac{2 - (-5)}{10 - (-4)} = \frac{7}{14} = \frac{1}{2}
]
Теперь найдём уравнение прямой в виде (y = kx + b). Подставим координаты одной из точек, например, (A(-4, -5)), чтобы найти (b):
[
-5 = \frac{1}{2} \times (-4) + b \Rightarrow -5 = -2 + b \Rightarrow b = -5 + 2 = -3
]
- Итак, уравнение прямой (AB):
[
y = \frac{1}{2}x - 3
]
Шаг 3. Найти уравнение отрезка (CD)
- Коэффициент наклона (k_{CD}):
[
k_{CD} = \frac{y_D - y_C}{x_D - x_C} = \frac{-8 - 4}{-1 - (-4)} = \frac{-12}{3} = -4
]
- Найдём (b), подставляя координаты точки (C(-4, 4)):
[
4 = -4 \times (-4) + b \Rightarrow 4 = 16 + b \Rightarrow b = 4 - 16 = -12
]
- Уравнение прямой (CD):
[
y = -4x - 12
]
Шаг 4. Найти точку пересечения
Теперь решим систему уравнений:
[
\begin{cases}
y = \frac{1}{2}x - 3 \
y = -4x - 12
\end{cases}
]
Приравняем выражения для (y):
[
\frac{1}{2}x - 3 = -4x - 12
]
Перенесём все члены в одну сторону:
[
\frac{1}{2}x + 4x = -12 + 3
]
Объединим подобные:
[
\frac{1}{2}x + 4x = \frac{1}{2}x + \frac{8}{2}x = \frac{1 + 8}{2}x = \frac{9}{2}x
]
И справа:
[
-12 + 3 = -9
]
Получаем уравнение:
[
\frac{9}{2}x = -9
]
Решим его:
[
x = -9 \times \frac{2}{9} = -2
]
Подставим (x = -2) в одно из уравнений для (y), например, в первое:
[
y = \frac{1}{2} \times (-2) - 3 = -1 - 3 = -4
]
Итог:
Координаты точки пересечения отрезков (AB) и (CD) равны ((-2, -4)).
Важно!
Проверка: эта точка должна лежать внутри обоих отрезков, а не только на прямых.
Для (AB):
(A(-4, -5)), (B(10, 2)), и точка ((-2, -4)) находится между ними по координатам, так как:
(x) — между (-4) и (10);
(y) — между (-5) и (2).
Для (CD):
(C(-4, 4)), (D(-1, -8)), и точка ((-2, -4)) тоже лежит между ними по координатам.
Значит, точка ((-2, -4)) действительно является точкой пересечения отрезков.
