Построй у себя в тетради координатную плоскость и отметь на ней точки A ( − 4 ; − 5 ) A(−4;−5) , B ( 10 ; 2 ) B(10;2) , C ( − 4 ; 4 ) C(−4;4) и D ( − 1 ; − 8 ) D(−1;−8) . Найди…

Чтобы найти точку пересечения отрезков \(AB\) и \(CD\), сначала нужно найти уравнения этих отрезков, а затем решить систему уравнений, чтобы найти точку их пересечения.

Шаг 1. Записать координаты точек

• \(A(-4, -5)\)
• \(B(10, 2)\)
• \(C(-4, 4)\)
• \(D(-1, -8)\)

---

Шаг 2. Найти уравнение отрезка \(AB\)

1. Найдём коэффициенты уравнения прямой по двум точкам.
   Формула для наклона (коэффициента \(k\)): \[ k_{AB} = \frac{y_B - y_A}{x_B - x_A} = \frac{2 - (-5)}{10 - (-4)} = \frac{7}{14} = \frac{1}{2} \]

2. Теперь найдём уравнение прямой в виде \(y = kx + b\). Подставим координаты одной из точек, например, \(A(-4, -5)\), чтобы найти \(b\):

\[ -5 = \frac{1}{2} \times (-4) + b \Rightarrow -5 = -2 + b \Rightarrow b = -5 + 2 = -3 \]

3. Итак, уравнение прямой \(AB\): \[ y = \frac{1}{2}x - 3 \]

---

Шаг 3. Найти уравнение отрезка \(CD\)

1. Коэффициент наклона \(k_{CD}\):

\[ k_{CD} = \frac{y_D - y_C}{x_D - x_C} = \frac{-8 - 4}{-1 - (-4)} = \frac{-12}{3} = -4 \]

2. Найдём \(b\), подставляя координаты точки \(C(-4, 4)\):

\[ 4 = -4 \times (-4) + b \Rightarrow 4 = 16 + b \Rightarrow b = 4 - 16 = -12 \]

3. Уравнение прямой \(CD\):

\[ y = -4x - 12 \]

---

Шаг 4. Найти точку пересечения

Теперь решим систему уравнений:

\[ \begin{cases} y = \frac{1}{2}x - 3 \\ y = -4x - 12 \end{cases} \]

Приравняем выражения для \(y\):

\[ \frac{1}{2}x - 3 = -4x - 12 \]

Перенесём все члены в одну сторону:

\[ \frac{1}{2}x + 4x = -12 + 3 \]

Объединим подобные:

\[ \frac{1}{2}x + 4x = \frac{1}{2}x + \frac{8}{2}x = \frac{1 + 8}{2}x = \frac{9}{2}x \]

И справа:

\[ -12 + 3 = -9 \]

Получаем уравнение:

\[ \frac{9}{2}x = -9 \]

Решим его:

\[ x = -9 \times \frac{2}{9} = -2 \]

Подставим \(x = -2\) в одно из уравнений для \(y\), например, в первое:

\[ y = \frac{1}{2} \times (-2) - 3 = -1 - 3 = -4 \]

---

Итог:

Координаты точки пересечения отрезков \(AB\) и \(CD\) равны \((-2, -4)\).

---

Важно!

Проверка: эта точка должна лежать внутри обоих отрезков, а не только на прямых.

• Для \(AB\):
  \(A(-4, -5)\), \(B(10, 2)\), и точка \((-2, -4)\) находится между ними по координатам, так как:
  \(x\) — между \(-4\) и \(10\);
  \(y\) — между \(-5\) и \(2\).

• Для \(CD\):
  \(C(-4, 4)\), \(D(-1, -8)\), и точка \((-2, -4)\) тоже лежит между ними по координатам.

Значит, точка \((-2, -4)\) действительно является точкой пересечения отрезков.