2158. Стороны четырёхугольника ABCD AB, BC, CD и AD стя- гивают дуги описанной окружности, градусные величи- ны которых равны соответственно 68°, 77°, 115°, 100°. Найдите угол В…

Давайте по порядку разберём задачу и найдем искомый угол \( \angle B \) в четырёхугольнике \( ABCD \).

Дано:

• \( AB, BC, CD, DA \) — стороны четырёхугольника, которые являются дугами описанной окружности.
• Дуги соответственно имеют градусные величины: 68°, 77°, 115°, 100°.

Задача: найти угол \( \angle B \).

---

Шаг 1: Понимание условий задачи

Дано, что стороны \( AB, BC, CD, DA \) — дуги описанной окружности. Вписанные углы и дуги связаны правилом:

• Вписанный угол — это полусумма дуги, на которую он опирается, то есть:

\[ \angle \text{вписанный} = \frac{1}{2} (\text{дуга, опирающаяся на этот угол}) \]

Другими словами, если мы рассматриваем внутренний угол четырёхугольника, то он связан с дугой, на которую он опирается.

Шаг 2: Определение длины дуги для каждого уголка

Наиболее логичная гипотеза — что каждый из данных указанных дуг — это дуга, противолежащая соответствующему углу:

• дуга, ограниченная боковыми сторонами \(AB\) и \(AD\),
• дуга, ограниченная сторонами \(AB\) и \(BC\),
• и так далее.

Поскольку указано, что стороны — "дуги описанной окружности", то эти дуги — это дуги, соответствующие сторонам или их ответвлениям.

Шаг 3: Построение связи между дугами и углами

Пусть:

• \( \overset{\frown}{AB} = 68^\circ \),
• \( \overset{\frown}{BC} = 77^\circ \),
• \( \overset{\frown}{CD} = 115^\circ \),
• \( \overset{\frown}{DA} = 100^\circ \).

Известно, что сумма дуг, составляющих полную окружность, равна 360°.
Проверим сумму:
\[ 68 + 77 + 115 + 100 = 360^\circ \]

Это полностью покрывает круг, что согласуется с возможностью разбиения на дуги \( AB, BC, CD, DA \).

---

Шаг 4: Связь дуг с внутренними углами

Вписанные углы равны половине дуг, на которые они опираются.

Рассмотрим четыре угла, в частности, угол \( \angle B \).

Для этого найдём дуги, на которые опирается \( \angle B \).

Угол \( \angle B \) — это угол между сторонами \( AB \) и \( BC \).

Вписанный угол, опирающийся на дугу \( \overset{\frown}{A D} \) и дугу \( \overset{\frown}{A C} \), связан с дугами вокруг точки \( B \).

Для угла \( B \):

• Он опирается на дугу, не содержащую \( B \), то есть дугу \( \overset{\frown}{A D} \) или \( \overset{\frown}{A C} \).

Однако, поскольку в задаче указано, что стороны — дуги окружности, и сумма дуг равна 360°, то:

• \( \overset{\frown}{AB} = 68^\circ \),
• \( \overset{\frown}{BC} = 77^\circ \).

---

Шаг 5: Как найти \( \angle B \)?

Наиболее точный путь — определить дугу, на которую опирается угол \( B \).
Вписанный угол равен половине дуги, противолежащей ему.

Угол \( \angle B \) — это внутренний угол при вершине \( B \).
Он опирается на дугу, противоположную вершине \( B \), то есть, это дуга, не содержащая точку \( B \).

Из данного, что дуги между вершинами:

• \( A \) и \( B \) — 68°,
• \( B \) и \( C \) — 77°,
• \( C \) и \( D \) — 115°,
• \( D \) и \( A \) — 100°.

Общая дуга между точками \( A \) и \( C \), — сумма дуг \( \overset{\frown}{AB} + \overset{\frown}{BC} = 68^\circ + 77^\circ = 145^\circ \).

Значит, дуга, противоположная вершине \( B \) — это дуга, включающая \( A \) и \( D \):

• Можем предположить, что дуга \( \overset{\frown}{AD} = 100^\circ \),
• потому, что она противоположна \( B \).

---

Шаг 6: Подсчет угла \( \angle B \)

Угол \( \angle B \):

• равен половине дуги, не содержащей \( B \),
• то есть дуги, которая противолежит вершине \( B \).

Дуга, противоположная \( B \), — это дуга между точками \( A \) и \( D \).

Дуга \( \overset{\frown}{AD} = 100^\circ \).

Следовательно:

\[ \angle B = \frac{1}{2} \times \text{ дуга, противоположная B} \]

То есть:

\[ \angle B = \frac{1}{2} \times 100^\circ = 50^\circ \]

---

Ответ:

\[ \boxed{50^\circ} \]

---

Если есть вопросы по разбору, или нужна дополнительная помощь, обращайтесь!