2158. Стороны четырёхугольника ABCD AB, BC, CD и AD стя- гивают дуги описанной окружности, градусные величи- ны которых равны соответственно 68°, 77°, 115°, 100°. Найдите угол В этого четырёхугольника. Ответ дайте в градусах.

Давайте по порядку разберём задачу и найдем искомый угол \( \angle B \) в четырёхугольнике \( ABCD \). **Дано:** - \( AB, BC, CD, DA \) — стороны четырёхугольника, которые являются дугами описанной окружности. - Дуги соответственно имеют градусные величины: 68°, 77°, 115°, 100°. **Задача:** найти угол \( \angle B \). --- ### Шаг 1: Понимание условий задачи Дано, что стороны \( AB, BC, CD, DA \) — дуги описанной окружности. Вписанные углы и дуги связаны правилом: - Вписанный угол — это полусумма дуги, на которую он опирается, то есть: \[ \angle \text{вписанный} = \frac{1}{2} (\text{дуга, опирающаяся на этот угол}) \] Другими словами, если мы рассматриваем внутренний угол четырёхугольника, то он связан с дугой, на которую он опирается. ### Шаг 2: Определение длины дуги для каждого уголка Наиболее логичная гипотеза — что каждый из данных указанных дуг — это дуга, противолежащая соответствующему углу: - дуга, ограниченная боковыми сторонами \(AB\) и \(AD\), - дуга, ограниченная сторонами \(AB\) и \(BC\), - и так далее. Поскольку указано, что стороны — "дуги описанной окружности", то эти дуги — это дуги, соответствующие сторонам или их ответвлениям. ### Шаг 3: Построение связи между дугами и углами Пусть: - \( \overset{\frown}{AB} = 68^\circ \), - \( \overset{\frown}{BC} = 77^\circ \), - \( \overset{\frown}{CD} = 115^\circ \), - \( \overset{\frown}{DA} = 100^\circ \). Известно, что сумма дуг, составляющих полную окружность, равна 360°. Проверим сумму: \[ 68 + 77 + 115 + 100 = 360^\circ \] Это полностью покрывает круг, что согласуется с возможностью разбиения на дуги \( AB, BC, CD, DA \). --- ### Шаг 4: Связь дуг с внутренними углами Вписанные углы равны половине дуг, на которые они опираются. Рассмотрим четыре угла, в частности, угол \( \angle B \). Для этого найдём дуги, на которые опирается \( \angle B \). **Угол \( \angle B \)** — это угол между сторонами \( AB \) и \( BC \). Вписанный угол, опирающийся на дугу \( \overset{\frown}{A D} \) и дугу \( \overset{\frown}{A C} \), связан с дугами вокруг точки \( B \). Для угла \( B \): - Он опирается на дугу, не содержащую \( B \), то есть дугу \( \overset{\frown}{A D} \) или \( \overset{\frown}{A C} \). Однако, поскольку в задаче указано, что стороны — дуги окружности, и сумма дуг равна 360°, то: - \( \overset{\frown}{AB} = 68^\circ \), - \( \overset{\frown}{BC} = 77^\circ \). --- ### Шаг 5: Как найти \( \angle B \)? Наиболее точный путь — определить дугу, на которую опирается угол \( B \). Вписанный угол равен половине дуги, противолежащей ему. Угол \( \angle B \) — это внутренний угол при вершине \( B \). Он опирается на дугу, противоположную вершине \( B \), то есть, это дуга, не содержащая точку \( B \). Из данного, что дуги между вершинами: - \( A \) и \( B \) — 68°, - \( B \) и \( C \) — 77°, - \( C \) и \( D \) — 115°, - \( D \) и \( A \) — 100°. Общая дуга между точками \( A \) и \( C \), — сумма дуг \( \overset{\frown}{AB} + \overset{\frown}{BC} = 68^\circ + 77^\circ = 145^\circ \). Значит, дуга, противоположная вершине \( B \) — это дуга, включающая \( A \) и \( D \): - Можем предположить, что дуга \( \overset{\frown}{AD} = 100^\circ \), - потому, что она противоположна \( B \). --- ### Шаг 6: Подсчет угла \( \angle B \) Угол \( \angle B \): - равен половине дуги, не содержащей \( B \), - то есть дуги, которая противолежит вершине \( B \). Дуга, противоположная \( B \), — это дуга между точками \( A \) и \( D \). Дуга \( \overset{\frown}{AD} = 100^\circ \). **Следовательно:** \[ \angle B = \frac{1}{2} \times \text{ дуга, противоположная B} \] То есть: \[ \angle B = \frac{1}{2} \times 100^\circ = 50^\circ \] --- ### **Ответ:** \[ \boxed{50^\circ} \] --- Если есть вопросы по разбору, или нужна дополнительная помощь, обращайтесь!