Определи градусную меру угла  D F R DFR, если известно, что хорда  D F DF стягивает дугу, равную  109 ° 109°, а хорда  F R FR — дугу в  97 ° 97°.

Давайте пошагово решим задачу. Нам нужно определить градусную меру угла DFR, при этом даны дуги и хорды. **Дано:** - Хорда DF стягивает дугу, равную 109° (то есть дуга DF = 109°). - Хорда FR стягивает дугу, равную 97° (дуга FR = 97°). **Что нам нужно найти:** угол DFR. --- ### Шаг 1. Вспомним свойства циркулярных и вписанных углов - **Вписанный угол** — это угол, у которого вершина лежит на окружности, а стороны — по дугам окружности. - **Теорема:** Вписанный угол равен половине дуги, на которую он опирается. Особенно важно: если две хорды пересекаются внутри окружности, то угол, образованный этими хордами, равен половине суммы дуг, образуемых ими. --- ### Шаг 2. Определить дуги и их соответствие - Хорд DF — дуга, равная 109°. - Хорд FR — дуга, равная 97°. Поскольку они указаны как хорды, соединяющие точки D, F, R, можно предположить, что: - дуга DF — это дуга, противолежащая дуге, которая включает точки D и R. - дуга FR — это дуга, соприкасающаяся с точками F и R. --- ### Шаг 3. Определение дуги, на которой лежит угол DFR Параметры задачи свидетельствуют о том, что гипотетический угол DFR образован двумя хордами, пересекающимися внутри окружности. На основе данных: - дуга DF = 109° - дуга FR = 97° Расстояния дуг позволяют определить, какие дуги образуют угол DFR. --- ### Шаг 4. Расчет дуги, содержащей угол DFR Поскольку угол DFR — это угол, образованный хордами DF и FR, то он связан с дугами, на которые эти хорды опираются. По свойствам: - если две хорды пересекаются внутри окружности, то измерение вписанного угла равно половине суммы дуг, на которые он опирается. Ищем дугу, на которой образован угол DFR. Воспользуемся формулой: \[ \text{Угол} DFR = \frac{1}{2} (\text{дуга, опирающаяся на него}) \] Но поскольку дуги даны, для ответа нужно определить, какие дуги опираются на угол DFR, и сколько они составляют. --- ### Шаг 5. Важное замечание — дуги, объединяющие точки Можно предположить: - дуга DF равна 109°, - дуга FR равна 97°. Значит, дуга D и дуга R расположены так, что: - дуга D — \( \text{дуга} \, D = \text{часть окружности} \), содержащая точки D и F, - дуга R — \( \text{дуга} \, R = \text{часть окружности} \), содержащая точки F и R. Потому что хорды соединяют точки внутри окружности. --- ### Шаг 6. Итоговое решение — вычисление угла DFR Наконец, согласно свойствам рисующих углов и дуг в окружности: - Угол DFR — это угол, образованный хордами DF и FR, пересекающимися внутри окружности. По теореме о вписанных углах: \[ \text{Угол DFR} = \frac{1}{2} (\text{дуга, образуемая дугами DF и FR}) \] Дуги, которые образуют угол, — это дуги D и R, и они вместе составляют сумму дуг, даны как 109° и 97°. --- **Ответ:** \[ \boxed{ \text{Мера угла } DFR = \frac{1}{2} \times (109^\circ + 97^\circ) = \frac{1}{2} \times 206^\circ = 103^\circ } \] --- **Итак, градусная мера угла DFR равна **103°**.**