Определи градусную меру угла D F R DFR , если известно, что хорда D F DF стягивает дугу, равную 109 ° 109° , а хорда F R FR — дугу в 97 ° 97° .
Давайте пошагово решим задачу. Нам нужно определить градусную меру угла DFR, при этом даны дуги и хорды.
Дано:
- Хорда DF стягивает дугу, равную 109° (то есть дуга DF = 109°).
- Хорда FR стягивает дугу, равную 97° (дуга FR = 97°).
Что нам нужно найти: угол DFR.
Шаг 1. Вспомним свойства циркулярных и вписанных углов
- Вписанный угол — это угол, у которого вершина лежит на окружности, а стороны — по дугам окружности.
- Теорема: Вписанный угол равен половине дуги, на которую он опирается. Особенно важно: если две хорды пересекаются внутри окружности, то угол, образованный этими хордами, равен половине суммы дуг, образуемых ими.
Шаг 2. Определить дуги и их соответствие
- Хорд DF — дуга, равная 109°.
- Хорд FR — дуга, равная 97°.
Поскольку они указаны как хорды, соединяющие точки D, F, R, можно предположить, что:
- дуга DF — это дуга, противолежащая дуге, которая включает точки D и R.
- дуга FR — это дуга, соприкасающаяся с точками F и R.
Шаг 3. Определение дуги, на которой лежит угол DFR
Параметры задачи свидетельствуют о том, что гипотетический угол DFR образован двумя хордами, пересекающимися внутри окружности.
На основе данных:
- дуга DF = 109°
- дуга FR = 97°
Расстояния дуг позволяют определить, какие дуги образуют угол DFR.
Шаг 4. Расчет дуги, содержащей угол DFR
Поскольку угол DFR — это угол, образованный хордами DF и FR, то он связан с дугами, на которые эти хорды опираются.
По свойствам:
- если две хорды пересекаются внутри окружности, то измерение вписанного угла равно половине суммы дуг, на которые он опирается.
Ищем дугу, на которой образован угол DFR. Воспользуемся формулой: \[ \text{Угол} DFR = \frac{1}{2} (\text{дуга, опирающаяся на него}) \]
Но поскольку дуги даны, для ответа нужно определить, какие дуги опираются на угол DFR, и сколько они составляют.
Шаг 5. Важное замечание — дуги, объединяющие точки
Можно предположить:
- дуга DF равна 109°,
- дуга FR равна 97°.
Значит, дуга D и дуга R расположены так, что:
- дуга D — \( \text{дуга} \, D = \text{часть окружности} \), содержащая точки D и F,
- дуга R — \( \text{дуга} \, R = \text{часть окружности} \), содержащая точки F и R.
Потому что хорды соединяют точки внутри окружности.
Шаг 6. Итоговое решение — вычисление угла DFR
Наконец, согласно свойствам рисующих углов и дуг в окружности:
- Угол DFR — это угол, образованный хордами DF и FR, пересекающимися внутри окружности.
По теореме о вписанных углах:
\[ \text{Угол DFR} = \frac{1}{2} (\text{дуга, образуемая дугами DF и FR}) \]
Дуги, которые образуют угол, — это дуги D и R, и они вместе составляют сумму дуг, даны как 109° и 97°.
Ответ:
\[
\boxed{
\text{Мера угла } DFR = \frac{1}{2} \times (109^\circ + 97^\circ) = \frac{1}{2} \times 206^\circ = 103^\circ
}
\]
Итак, градусная мера угла DFR равна 103°.
