Окружности с центром O проведена касательная KM Найдите длину отрезка OK если радиус =5 см угол MOK= 60 градусов

Давайте разберем задачу пошагово и подробно. **Дано:** - Окружность с центром \( O \) - Проведена касательная \( KM \) к окружности - \( R \) — радиус окружности = 5 см - Угол \( MOK = 60^\circ \) **Задача:** найти длину отрезка \( OK \). --- ### Шаг 1. Анализ условий - Окружность с центром \( O \) и радиусом \( R = 5 \) см. - \( M \) — точка, зная, что \( M \) — точка касания (предположительно, так как касательная \( KM \) касается окружности в точке \( M \)). - Угол \( MOK = 60^\circ \). Если \( M \) — точка касания, то отрезок \( OM \) — радиус, и он перпендикулярен касательной \( KM \) в точке касания. Это важное свойство касательной. Обозначим: - \( K \) — точка, которую нужно найти - \( O \) — центр окружности - \( M \) — точка касания - \( OK \) — искомый отрезок --- ### Шаг 2. Визуализация и построение схемы 1. Проведем центр окружности \( O \). 2. Проведем радиус \( OM \), длиной 5 см. 3. В точке касания \( M \) проведем касательную \( KM \). - Она наклонена к радиусу \( OM \) под прямым углом (\( 90^\circ \)). 4. Из условия — угол \( MOK = 60^\circ \). - \( O \) и \( K \) — точки, \( M \) — точка касания. --- ### Шаг 3. Анализ углов и построение отношений Рассмотрим треугольник \( O M K \). - \( OM \perp MK \) (радиус перпендикулярен касательной). - \( OM = 5 \) см. Поскольку \( \angle MOK = 60^\circ \), и \( O \) — центр окружности, \( M \) — точка касания, то: - Точка \( M \) — есть точка касания, значит, \( OM \perp KM \). - \( OK \) — искомый отрезок. --- ### Шаг 4. Установление связи через угол \( MOK \) Рассмотрим треугольник \( O M K \): - В нем имеется угол \( \angle MOK = 60^\circ \). - \( OM \) — радиус, перпендикулярный касательной в \( M \), длина — 5 см. Обозначим: - \( \angle OMK \) — угол между радиусом \( OM \) и отрезком \( OK \). Поскольку \( OM \) — радиус, а \( MK \) — касательная, перпендикулярная радиусу, то: - \( \angle O M K = 90^\circ \). Это очень важно. В треугольнике \( O M K \): - \( OM \) — радиус (5 см), - \( \angle O M K = 90^\circ \), - \( \angle M O K = 60^\circ \), по условию. --- ### Шаг 5. Определение положения точки \( K \) В треугольнике \( O M K \): - \( \angle M O K = 60^\circ \), - \( \angle O M K = 90^\circ \), - Следовательно, \( \angle O K M = 30^\circ \). Общий сумма углов треугольника \( O M K \): \[ 60^\circ + 90^\circ + \angle OKM = 180^\circ, \] откуда \[ \angle OKM = 180^\circ - 150^\circ = 30^\circ. \] --- ### Шаг 6. Решение — использование тригонометрии Рассмотрим треугольник \( O M K \). - Известно: \( OM = 5 \) см, - \( \angle O M K = 90^\circ \), - \( \angle M O K = 60^\circ \). Тогда, в прямоугольном треугольнике с гипотенузой \( OK \) и острым углом \( 60^\circ \) при \( O \), можно выразить \( OK \). --- ### Шаг 7. Вывод — длина \( OK \) В треугольнике \( O M K \): \[ OK = \frac{OM}{\sin 30^\circ}. \] Поскольку: - \( OM = 5 \) см, - \( \sin 30^\circ = 0.5 \), получаем: \[ OK = \frac{5}{0.5} = 10\, \text{см}. \] --- ### Итог: **Длина отрезка \( OK \) равна \(\boxed{10 \text{ см}}\).**