окружности с центром O проведена касательная KM Найдите длину отрезка OK если радиус =5 см угол MOK= 60 градусов
Давайте разберем задачу пошагово и подробно.
Дано:
- Окружность с центром \( O \)
- Проведена касательная \( KM \) к окружности
- \( R \) — радиус окружности = 5 см
- Угол \( MOK = 60^\circ \)
Задача: найти длину отрезка \( OK \).
Шаг 1. Анализ условий
- Окружность с центром \( O \) и радиусом \( R = 5 \) см.
- \( M \) — точка, зная, что \( M \) — точка касания (предположительно, так как касательная \( KM \) касается окружности в точке \( M \)).
- Угол \( MOK = 60^\circ \).
Если \( M \) — точка касания, то отрезок \( OM \) — радиус, и он перпендикулярен касательной \( KM \) в точке касания. Это важное свойство касательной.
Обозначим:
- \( K \) — точка, которую нужно найти
- \( O \) — центр окружности
- \( M \) — точка касания
- \( OK \) — искомый отрезок
Шаг 2. Визуализация и построение схемы
- Проведем центр окружности \( O \).
- Проведем радиус \( OM \), длиной 5 см.
- В точке касания \( M \) проведем касательную \( KM \).
- Она наклонена к радиусу \( OM \) под прямым углом (\( 90^\circ \)).
- Из условия — угол \( MOK = 60^\circ \).
- \( O \) и \( K \) — точки, \( M \) — точка касания.
Шаг 3. Анализ углов и построение отношений
Рассмотрим треугольник \( O M K \).
- \( OM \perp MK \) (радиус перпендикулярен касательной).
- \( OM = 5 \) см.
Поскольку \( \angle MOK = 60^\circ \), и \( O \) — центр окружности, \( M \) — точка касания, то:
- Точка \( M \) — есть точка касания, значит, \( OM \perp KM \).
- \( OK \) — искомый отрезок.
Шаг 4. Установление связи через угол \( MOK \)
Рассмотрим треугольник \( O M K \):
- В нем имеется угол \( \angle MOK = 60^\circ \).
- \( OM \) — радиус, перпендикулярный касательной в \( M \), длина — 5 см.
Обозначим:
- \( \angle OMK \) — угол между радиусом \( OM \) и отрезком \( OK \).
Поскольку \( OM \) — радиус, а \( MK \) — касательная, перпендикулярная радиусу, то:
- \( \angle O M K = 90^\circ \).
Это очень важно. В треугольнике \( O M K \):
- \( OM \) — радиус (5 см),
- \( \angle O M K = 90^\circ \),
- \( \angle M O K = 60^\circ \), по условию.
Шаг 5. Определение положения точки \( K \)
В треугольнике \( O M K \):
- \( \angle M O K = 60^\circ \),
- \( \angle O M K = 90^\circ \),
- Следовательно, \( \angle O K M = 30^\circ \).
Общий сумма углов треугольника \( O M K \):
\[ 60^\circ + 90^\circ + \angle OKM = 180^\circ, \] откуда
\[ \angle OKM = 180^\circ - 150^\circ = 30^\circ. \]
Шаг 6. Решение — использование тригонометрии
Рассмотрим треугольник \( O M K \).
- Известно: \( OM = 5 \) см,
- \( \angle O M K = 90^\circ \),
- \( \angle M O K = 60^\circ \).
Тогда, в прямоугольном треугольнике с гипотенузой \( OK \) и острым углом \( 60^\circ \) при \( O \), можно выразить \( OK \).
Шаг 7. Вывод — длина \( OK \)
В треугольнике \( O M K \):
\[ OK = \frac{OM}{\sin 30^\circ}. \]
Поскольку:
- \( OM = 5 \) см,
- \( \sin 30^\circ = 0.5 \),
получаем:
\[ OK = \frac{5}{0.5} = 10\, \text{см}. \]
Итог:
Длина отрезка \( OK \) равна \(\boxed{10 \text{ см}}\).
