решите графически уравнение корень из х=12-х
Давайте решим графически уравнение \(\sqrt{x} = 12 - x\).
Шаг 1: Понимание задачи
Нам нужно найти такие значения \(x\), которые удовлетворяют уравнению. Для этого составим два выражения:
- Левая часть: \(y_1 = \sqrt{x}\)
- Правая часть: \(y_2 = 12 - x\)
Зрение на графики этих функций поможет найти точки пересечения — и есть решения уравнения.
Шаг 2: Построение графиков
1. График функции \(y_1 = \sqrt{x}\):
- Определена для \(x \geq 0\) (так как корень из отрицательного числа не определен в области действительных чисел).
- График — в виде полукривой, начинающейся в точке \((0, 0)\), постепенно повышаясь и расширяясь.
2. График функции \(y_2 = 12 - x\):
- Линейная функция, которая пересекает ось \(x\) в точке \(x = 12\), и ось \(y\) в точке \((0, 12)\).
- Убывающая, с наклоном -1.
Шаг 3: Визуально найти точки пересечения
Графики двух функций пересекаются в тех точках, где \(y_1 = y_2\).
Проверим точки пересечения без построения точных графиков:
- Внимание, поскольку \(y_1 \geq 0\), а \(y_2 = 12 - x \geq 0\) при \(x \leq 12\).
- Поэтому интересуют точки в диапазоне \(0 \leq x \leq 12\).
Шаг 4: Решение аналитически (для уточнения)
Решим уравнение аналитически:
\[ \sqrt{x} = 12 - x \]
Возьмем обе части в квадрат, чтобы избавиться от корня (учитывая, что при возведении в квадрат нужно проверить возможные лишние решения):
\[ (\sqrt{x})^2 = (12 - x)^2 \]
\[ x = (12 - x)^2 \]
Раскроем квадрат:
\[ x = (12)^2 - 2 \cdot 12 \cdot x + x^2 \]
\[ x = 144 - 24x + x^2 \]
Перенесем все в левую часть:
\[ x - 144 + 24x - x^2 = 0 \]
или
\[ x^2 - 25x + 144 = 0 \]
Это квадратное уравнение:
\[ x^2 - 25x + 144 = 0 \]
Решим его через формулу:
\[ x = \frac{25 \pm \sqrt{(-25)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 144}}{2} \]
\[ x = \frac{25 \pm \sqrt{625 - 576}}{2} \]
\[ x = \frac{25 \pm \sqrt{49}}{2} \]
\[ x = \frac{25 \pm 7}{2} \]
Два решения:
- \(x = \frac{25 + 7}{2} = \frac{32}{2} = 16\)
- \(x = \frac{25 - 7}{2} = \frac{18}{2} = 9\)
Шаг 5: Проверка решений
Проверим каждое:
- Для \(x = 16\):
\[ \sqrt{16} = 4, \quad 12 - 16 = -4 \]
Значения не равны (\(4 \neq -4\)), значит, это лишний корень, возникший при возведении в квадрат. Он не подходит.
- Для \(x = 9\):
\[ \sqrt{9} = 3, \quad 12 - 9 = 3 \]
Совпадает! Поэтому единственное решение — \(x=9\).
Итог:
Графически нашли, что единственное решение уравнения — \(x=9\).
Если нужно, могу сделать дополнительные разъяснения или построить график.
