математика

Давайте подробно рассмотрим каждую задачу.

Задача 39.11

Укажите, какие из заданных функций являются показательными:
a) \( y = 3^x \)
б) \( y = x^3 \)
в) \( y = x^{\frac{5}{8}} \)
г) \( y = (\sqrt{3})^x \)

Решение:

Показательные функции — это такие функции, у которых переменная \( x \) находится в показателе степени.

• а) \( y = 3^x \) — это показательная функция, потому что переменная \( x \) в степени числа 3.
• б) \( y = x^3 \) — это степенная функция, а не показательная (переменная в степени — постоянное число).
• в) \( y = x^{\frac{5}{8}} \) — тоже степенная функция, а не показательная.
• г) \( y = (\sqrt{3})^x \) — это показательная функция, так как переменная \( x \) в степени постоянного числа \( \sqrt{3} \).

Ответ:
Показательными являются функции a) и г).

Задача 39.12

Найдите значение аргумента \( x \), при котором функция \( y = 2^x \) принимает заданное значение:

а) 16
б) \( 8\sqrt{2} \)
в) \( \frac{1}{\sqrt{2}} \)
г) \( \frac{1}{32\sqrt{2}} \)

Решение:

Для каждой ситуации уравняем выражение \( 2^x \) с заданным числом и решим уравнение.

а) \( 2^x = 16 \)

• \( 16 = 2^4 \), так как \( 2^4 = 16 \).
• Значит, \( 2^x = 2^4 \), отсюда \( x = 4 \).

б) \( 2^x = 8\sqrt{2} \)

• \( 8 = 2^3 \),

• \( \sqrt{2} = 2^{1/2} \),

• Тогда \( 8\sqrt{2} = 2^3 \times 2^{1/2} = 2^{3 + 1/2} = 2^{3.5} \).

• В виде дроби, \( 3.5 = \frac{7}{2} \), значит \( 2^{x} = 2^{7/2} \), и отсюда \( x = \frac{7}{2} \).

в) \( 2^x = \frac{1}{\sqrt{2}} \)

• \( \sqrt{2} = 2^{1/2} \),

• Тогда \( \frac{1}{\sqrt{2}} = 2^{-1/2} \).

• Следовательно, \( 2^x = 2^{-1/2} \), и \( x = -\frac{1}{2} \).

г) \( 2^x = \frac{1}{32\sqrt{2}} \)

• \( 32 = 2^5 \),

• \( \sqrt{2} = 2^{1/2} \),

• Тогда \( 32\sqrt{2} = 2^{5} \times 2^{1/2} = 2^{5 + 1/2} = 2^{5.5} = 2^{11/2} \).

• Следовательно, \( \frac{1}{32\sqrt{2}} = 2^{-11/2} \).

• Итак, \( 2^x = 2^{-11/2} \), значит \( x = -\frac{11}{2} \).

Итоговые ответы:

Если нужен дополнительный разбор или объяснения — обращайтесь!