Дано:
- Основание — правильный квадрат со стороной ( a = 16 ).
- Боковые ребра равны ( l = 17 ).
Задача: найти площадь поверхности пирамиды.
Шаг 1. Площадь основания
Площадь квадрата:
[
S_осн = a^2 = 16^2 = 256
]
Шаг 2. Высота боковой грани и апофема
Чтобы найти площадь боковой поверхности, нужно определить площадь боковых треугольников, составляющих боковые грани.
Боковые грани — равнобедренные треугольники с базой ( a = 16 ) и боковым ребром ( l = 17 ).
Нужно найти высоту бокового треугольника — апофему ( h_b ).
Шаг 3. Высота бокового треугольника
Рассмотрим треугольник, образованный боковым ребром и половиной стороны основания.
Половина стороны основания:
[
\frac{a}{2} = 8
]
Высота бокового треугольника ( h_b ) находится по теореме Пифагора:
[
h_b = \sqrt{l^2 - \left(\frac{a}{2}\right)^2} = \sqrt{17^2 - 8^2} = \sqrt{289 - 64} = \sqrt{225} = 15
]
Шаг 4. Площадь боковой поверхности
Боковая поверхность состоит из 4 равных треугольников, каждый с основания ( 16 ) и высотой ( h_b = 15 ).
Площадь одного бокового треугольника:
[
S_{тр} = \frac{1}{2} \times a \times h_b = \frac{1}{2} \times 16 \times 15 = 8 \times 15 = 120
]
Общая площадь боковой поверхности:
[
S_{бок} = 4 \times 120 = 480
]
Шаг 5. Общая площадь поверхности
Площадь поверхности — сумма площади основания и боковой поверхности:
[
S_{общ} = S_{осн} + S_{бок} = 256 + 480 = 736
]
Ответ:
[
\boxed{736}
]
Площадь поверхности правильной тетрагональной пирамиды равна 736.
