Стороны основания правильной четырехугольной пирамиды равны 16, боковые ребра равны 17. Найдите площадь поверхности этой пирамиды.

Дано:

• Основание — правильный квадрат со стороной \( a = 16 \).
• Боковые ребра равны \( l = 17 \).

Задача: найти площадь поверхности пирамиды.

Шаг 1. Площадь основания

Площадь квадрата:

\[ S_осн = a^2 = 16^2 = 256 \]

Шаг 2. Высота боковой грани и апофема

Чтобы найти площадь боковой поверхности, нужно определить площадь боковых треугольников, составляющих боковые грани.

Боковые грани — равнобедренные треугольники с базой \( a = 16 \) и боковым ребром \( l = 17 \).

Нужно найти высоту бокового треугольника — апофему \( h_b \).

Шаг 3. Высота бокового треугольника

Рассмотрим треугольник, образованный боковым ребром и половиной стороны основания.

Половина стороны основания:

\[ \frac{a}{2} = 8 \]

Высота бокового треугольника \( h_b \) находится по теореме Пифагора:

\[ h_b = \sqrt{l^2 - \left(\frac{a}{2}\right)^2} = \sqrt{17^2 - 8^2} = \sqrt{289 - 64} = \sqrt{225} = 15 \]

Шаг 4. Площадь боковой поверхности

Боковая поверхность состоит из 4 равных треугольников, каждый с основания \( 16 \) и высотой \( h_b = 15 \).

Площадь одного бокового треугольника:

\[ S_{тр} = \frac{1}{2} \times a \times h_b = \frac{1}{2} \times 16 \times 15 = 8 \times 15 = 120 \]

Общая площадь боковой поверхности:

\[ S_{бок} = 4 \times 120 = 480 \]

Шаг 5. Общая площадь поверхности

Площадь поверхности — сумма площади основания и боковой поверхности:

\[ S_{общ} = S_{осн} + S_{бок} = 256 + 480 = 736 \]

Ответ:

\[ \boxed{736} \]

Площадь поверхности правильной тетрагональной пирамиды равна 736.