6. В прямоугольном треугольнике один из катетов равен 4, а острый угол, прилежащий к нему, равен 45°. Найдите площадь треугольника. 7. Центр окружности, описанной около треугольника АВС, лежит на стороне АВ. Радиус окружности равен 15. Найдите ВС, если АС = 24.

Давайте решим обе задачи пошагово и подробно. --- ### Задача 6 **Условие:** В прямоугольном треугольнике один из катетов равен 4, а острый угол, прилежащий к нему, равен 45°. Нужно найти площадь треугольника. --- #### Шаг 1. Что известно? - Один катет: \( a = 4 \) - Острый угол, прилежащий к катету \( a \): \(\alpha = 45^\circ \) --- #### Шаг 2. Найти другой катет или гипотенузу. Поскольку треугольник прямоугольный и один из острых углов — 45°, то это означает, что угол между гипотенузой и другим катетом тоже равен 45°, а значит, это равнобедренный прямоугольный треугольник. На этом этапе важно понять, о каком катете идет речь. - Острый угол \(\alpha = 45^\circ\), прилежащий к катету \(a = 4\). - Тогда, в прямоугольном треугольнике с острым углом 45°, два катета равны. Проверим это: Отношение катета и гипотенузы в таком угле: \[ \cos 45^\circ = \frac{\text{прилежащий катет}}{\text{гипотенуза}} \] Обозначим гипотенузу через \( c \). Тогда: \[ \cos 45^\circ = \frac{a}{c} \implies \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{4}{c} \implies c = \frac{4}{\sqrt{2}/2} = 4 \times \frac{2}{\sqrt{2}} = 4 \times \frac{2 \sqrt{2}}{2} = 4 \sqrt{2} \] Но это гипотенуза. Теперь посмотрим, является ли другой катет равным 4. В такой ситуации, если один катет равен 4, а угол прилежащий к нему — 45°, другой катет, согласно свойствам равнобедренного прямоугольного треугольника, также равен 4. Проверим это через синус: \[ \sin 45^\circ = \frac{\text{противолежащий катет}}{c} \] Но лучше воспользоваться прямым определением: в равнобедренном прямоугольном треугольнике катеты равны, гипотенуза — \( c = a \sqrt{2} \). Поскольку \( a = 4 \), то \( c = 4 \sqrt{2} \). Так как угол при катете 45°, **второй катет тоже равен 4**. --- ### Итог по задаче 6: - Катеты: \( a = 4 \), \( b = 4 \) - Гипотенуза: \( c = 4 \sqrt{2} \) --- ### Шаг 3. Найти площадь треугольника Площадь прямоугольного треугольника: \[ S = \frac{1}{2} \times a \times b \] Подставляем значения: \[ S = \frac{1}{2} \times 4 \times 4 = \frac{1}{2} \times 16 = 8 \] --- **Ответ по задаче 6: \( \boxed{8} \)** --- --- ### Задача 7 **Условие:** Центр окружности, описанной около треугольника \( ABC \), лежит на стороне \( AB \). Радиус окружности равен 15. Нужно найти сторону \( BC \), если \( AC = 24 \). --- #### Шаг 1. Что известно? - Радиус описанной окружности \( R = 15 \) - Центр окружности находится на стороне \( AB \) - \( AC = 24 \) --- #### Шаг 2. Что означает, что центр окружности лежит на стороне \( AB \)? Центр описанной окружности — это точка \( O \), равноотстоящая от всех трёх вершин \( A, B, C \). Если \( O \) лежит на стороне \( AB \), то: - \( O \) — точка на \( AB \) - Расстояние от \( O \) до любых трех вершин равно радиусу: \( OA = OB = OC = R = 15 \) Итак: - \( OA = 15 \) - \( OB = 15 \) - \( OC = 15 \) Поскольку \( O \) лежит на \( AB \), она делит ее на две части, причём длина \( AB \) — неизвестна, будем обозначать её как \( d \). --- #### Шаг 3. Используем свойства окружности. Пусть \( A \) и \( B \) — точки на окружности, \( O \) — на стороне \( AB \). Тогда: - \( |AO| + |OB| = |AB| \) - \( O \) — на \( AB \), и \( OA = OB = 15 \), следовательно: Если \( O \) — на отрезке \( AB \), тогда \( O \) — равновелик для \( A \) и \( B \), поэтому \( A \) и \( B \) расположены по обе стороны от \( O \). Обозначим \( A \) и \( B \) координатами: - \( A = (x_A, y_A) \), - \( B = (x_B, y_B) \), - \( O = (x_O, y_O) \). Также, поскольку: - \( O \) лежит на \( AB \), тогда \( O \) входит в отрезок \( AB \). - Расстояния: \[ |AO| = |BO| = 15 \] Но проще решать геометрически. --- #### Шаг 4. Используем радиус. Темп — что центр \( O \) лежит на \( AB \), а все вершины треугольника \( ABC \) лежат на окружности с радиусом 15. Это значит, что: - \( C \) — точка, равновеликая \( R = 15 \) от \( O \). Также, \( A, B \) — на окружности с центром \( O \) и радиусом 15. Так, расстояния: \[ |AO| = |BO| = |CO| = 15 \] Поскольку \( A, B \) — на окружности, а \( O \) — на стороне \( AB \), то: - \( A \) и \( B \) лежат на окружности с центром \( O \), а \( O \) — на стороне \( AB \), что указывает, что \( AB \) — диаметр окружности (в случае, если \( O \) — середина \( AB \)), или \( O \) — точка на \( AB \). Но, по условию, \( O \) — на стороне \( AB \). Тогда: - \( |AO| = 15 \), - \( |BO| = 15 \), - \( |CO| = 15 \). Итак: - \( A \) и \( B \) находятся на окружности с центром \( O \) и радиусом 15. --- #### Шаг 5. Найти \( BC \) Дано: - \( AC = 24 \), - \( O \) — на \( AB \), - радиус окружности \( R = 15 \), и \( A, B, C \) — на окружности. Что нам нужно найти? Ведь \( BC \) зависит от положения \( C \) относительно \( B \). --- #### Шаг 6. Геометрические построения и выводы. Отметим, что, - Точка \( C \) — на окружности с радиусом 15, - \( A \) — на окружности с центром \( O \), - \( AC = 24 \), - \( O \) — на стороне \( AB \), внутри или на границе треугольника. Поскольку \( O \), центр окружности, находится на \( AB \), а радиус — 15, то для точки \( C \): \[ |OC| = 15 \] Далее, \( A \) и \( B \) — на окружности с центром \( O \), радиус 15. Если \( A \) — на окружности, то расстояние \( AO \) равно радиусу: 15. Аналогично, \( B \) на окружности, \( BO = 15 \). Пусть \( A \) — одна из точек окружности, то: \[ |AO| = 15 \] Тогда позиция \( A \) и \( B \) относительно \( O \): - Они расположены на окружности радиуса 15, а \( O \) — на стороне \( AB \). Для упрощения предположим, что \( A \) и \( B \) — точки на окружности, симметричные относительно \( O \), и \( AB \) — диаметр окружности. Тогда: - \( A \) и \( B \) — противоположные точки, и \( AB = 30 \). Проверим расстояние \( AC = 24 \). Для точку \( C \), находящуюся на окружности радиуса 15, и точку \( A \), на окружности с центром в \( O \): Используем координатный подход: - Пусть \( O \) — точка с координатами \( (0,0) \). - Тогда \( A \) — точка на окружности радиуса 15, например, \( (15, 0) \). - \( B \) — противоположная точка, например, \( (-15, 0) \). Рассмотрим \( C \), точку на окружности с радиусом 15, с координатами \( (x, y) \), где \[ x^2 + y^2 = 15^2 = 225 \] Пока не знаем точное положение \( C \). Но известно, что \( AC = 24 \): \[ |AC| = \sqrt{(x - 15)^2 + y^2} = 24 \] Также: \[ x^2 + y^2 = 225 \] Разрешим систему: \[ (x - 15)^2 + y^2 = 576 \] Подставим \( y^2 = 225 - x^2 \): \[ (x - 15)^2 + 225 - x^2 = 576 \] Раскроем скобки: \[ x^2 - 30x + 225 + 225 - x^2 = 576 \] Упростим: \[ -30x + 450 = 576 \] \[ -30x = 126 \] \[ x = -\frac{126}{30} = -4.2 \] Теперь: \[ y^2 = 225 - (-4.2)^2 = 225 - 17.64 = 207.36 \] \[ y \approx \pm \sqrt{207.36} \approx \pm 14.4 \] На этом этапе расстояние \( BC \) — это расстояние от \( B = (-15, 0) \) до \( C = (-4.2, 14.4) \) или \( (-4.2, -14.4) \): Рассмотрим для \( y = 14.4 \): \[ BC = \sqrt{(-15 + 4.2)^2 + (0 - 14.4)^2} = \sqrt{(-10.8)^2 + (-14.4)^2} = \sqrt{116.64 + 207.36} = \sqrt{324} = 18 \] --- ### **Ответ для задачи 7:** \[ \boxed{BC = 18} \] --- Если есть дополнительные уточнения или нужны более подробные пояснения — обращайтесь!