Стороны основания правильной треугольной пирамиды равны 8, а боковые рёбра равны 5 Найдите площадь боковой поверхности этой пирамиды.

Дано: - Основание — правильная треугольная пирамида с рёбром основания \( a = 8 \). - Боковые рёбра равны \( s = 5 \). Нужно найти площадь боковой поверхности пирамиды. --- **Шаг 1: Определим высоту основания и апофему боковой стороны.** Основание — правильный треугольник со стороной \( a = 8 \): \[ \text{Высота треугольника} \] \[ h_{\text{осн}} = \frac{\sqrt{3}}{2} a = \frac{\sqrt{3}}{2} \times 8 = 4 \sqrt{3} \] --- **Шаг 2: Найдём высоту треугольника-основания, проведённую из центра основания к каждой стороне.** Радиус вписанной окружности (вписать центр) треугольника: \[ r_{\text{впис}} = \frac{a \sqrt{3}}{6} = \frac{8 \sqrt{3}}{6} = \frac{4 \sqrt{3}}{3} \] --- **Шаг 3: Найдём высоту апофемы.** Пусть \( l \) — апофема (расстояние по высоте бокового треугольника). Боковое ребро \( s = 5 \), оно является гипотенузой треугольника, вершина которого: - центр основания находится в точке, удалённой от вершины по радиусу вписанной окружности \( r \), - и апофема \( l \) (высота бокового треугольника) является высотой этого треугольника. Рассмотрим боковой треугольник, у которого: - одна катета — апофема \( l \), - вторая катета — высота центра основания до вершины (расстояние от вершины пирамиды до центра основания), - гипотенуза — боковое ребро \( s = 5 \). --- **Шаг 4: Определим высоту пирамиды \( h \).** Рассмотрим треугольник, образованный из вершины \( V \), центров основания \( O \) и одной из вершин основания \( A \): - \( \vec{AO} = \frac{a}{\sqrt{3}} \), но проще использовать расстояния. Из соотношения: \[ s^2 = h^2 + r^2 \] где \( r = \frac{a \sqrt{3}}{6} = \frac{4 \sqrt{3}}{3} \). Но не совсем так: боковая грань — треугольник \( VAO \). Для правильной треугольной пирамиды, высота \( h \), проходящая через центр основания, образует прямоугольный треугольник с боковым ребром и радиусом вписанной окружности. --- **Шаг 5: Выразим \( h \) через апофему \( l \).** Плечо бокового треугольника: \( s = 5 \). Высота этого треугольника — апофема \( l \), а основание — радиус \( r \): отношение: \[ l^2 = h^2 + r^2 \] Но чтобы найти \( l \), нужна дополнительная связь. --- **Шаг 6: Найдём апофему боковой грани \( l \).** Боковой треугольник, вершина — вершина пирамиды, основание — сторона основания. Средний треугольник — равнобедренный, основание — стороной основания \( a = 8 \). Высота бокового треугольника равна \( l \), которая соответствует апофеме. Для каждого бокового треугольника: \[ l = \sqrt{s^2 - \left(\frac{a}{2}\right)^2} \] где \( s = 5 \), \( a = 8 \): \[ l = \sqrt{5^2 - 4^2} = \sqrt{25 - 16} = \sqrt{9} = 3 \] --- **Шаг 7: Площадь боковой поверхности.** Боковые поверхности — это 3 равнобедренных треугольника с основанием \( 8 \) и высотой \( l = 3 \). Площадь одного бокового треугольника: \[ S_{\text{боковой треугольник}} = \frac{1}{2} \times a \times l = \frac{1}{2} \times 8 \times 3 = 12 \] Общая площадь боковой поверхности — сумма по 3 треугольникам: \[ S_{\text{боковая поверхность}} = 3 \times 12 = 36 \] --- **Ответ:** \[ \boxed{36} \] Площадь боковой поверхности пирамиды равна **36**.