В команде по спортивному многоборью должно быть 4 мальчика и 4 девочки. Сколькими способами можно выбрать участников из 13 девочек и 17 мальчиков? Этапы решения. 1. Количество…

Давайте подробно разберем задачу по шагам.

1. Количество способов выбрать девочек

У нас есть 13 девочек, и нужно выбрать 4 из них.

Количество способов выбрать 4 девочек из 13 определяется по комбинаторной формуле:

\[ C_{13}^{4} = \frac{13!}{4! \times (13-4)!} \]

где \( n! \) — факториал числа \( n \).

Посчитаем:

\[ C_{13}^{4} = \frac{13!}{4! \times 9!} \]

Раскроем факториалы:

\[ 13! = 13 \times 12 \times 11 \times 10 \times 9! \]

Подставим это в формулу:

\[ C_{13}^{4} = \frac{13 \times 12 \times 11 \times 10 \times 9!}{4! \times 9!} \]

Факториал 4:

\[ 4! = 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 24 \]

Теперь посчитаем числитель:

\[ 13 \times 12 \times 11 \times 10 = 13 \times 12 = 156 \] \[ 156 \times 11 = 1716 \] \[ 1716 \times 10 = 17\,160 \]

Делим:

\[ C_{13}^{4} = \frac{17\,160}{24} = 715 \]

Итак, количество способов выбрать 4 девочек — 715.

---

2. Количество способов выбрать мальчиков

Аналогично, у нас 17 мальчиков, нужно выбрать 4.

Используем ту же формулу:

\[ C_{17}^{4} = \frac{17!}{4! \times (17-4)!} = \frac{17!}{4! \times 13!} \]

Раскроем 17!:

\[ 17! = 17 \times 16 \times 15 \times 14 \times 13! \]

Подставим:

\[ C_{17}^{4} = \frac{17 \times 16 \times 15 \times 14 \times 13!}{4! \times 13!} \]

Отменяем 13!:

\[ C_{17}^{4} = \frac{17 \times 16 \times 15 \times 14}{24} \]

Теперь посчитаем числитель:

\[ 17 \times 16 = 272 \] \[ 272 \times 15 = 4\,080 \] \[ 4\,080 \times 14 = 57\,120 \]

Делим на 24:

\[ C_{17}^{4} = \frac{57\,120}{24} = 2\,380 \]

Количество способов выбрать 4 мальчиков — 2380.

---

3. Общее число способов собрать команду

Поскольку выбор девочек и мальчиков происходят независимо, умножаем количество вариантов:

\[ Общее = C_{13}^{4} \times C_{17}^{4} = 715 \times 2\,380 \]

Вычислим произведение:

\[ 715 \times 2\,380 \]

Разложим:

\[ 700 \times 2\,380 = 1\,666\,000 \] \[ 15 \times 2\,380 = 35\,700 \]

Сложим:

\[ 1\,666\,000 + 35\,700 = 1\,701\,700 \]

---

Итого:

Ответ:
Количество способов собрать команду из 4 девочек и 4 мальчиков — 1 701 700

Если нужны дополнительные объяснения или есть вопросы — спрашивайте!