Давайте решим задачу пошагово, подробно объясняя каждый этап.
Дано:
- Расстояние против течения: 165 км
- Скорость течения реки: ( V_{теч} = 4 \text{ км/ч} )
- Время обратного пути меньше времени пути против течения на 2 часа.
- Необходимо найти скорость лодки в неподвижной воде: ( V_{лодки} = V \text{ км/ч} )
Обозначения:
- ( V ): скорость лодки в неподвижной воде (наша искомая величина)
- ( V_{теч} = 4 \text{ км/ч} ): скорость течения
- ( D = 165 \text{ км} ): расстояние
Скорости:
- Против течения: скорость лодки относительно берега:
[
V_{против} = V - 4
]
- По течению: скорость лодки относительно берега:
[
V_{по} = V + 4
]
Время пути:
- Время против течения:
[
t_{против} = \frac{D}{V - 4}
]
- Время по течению:
[
t_{по} = \frac{D}{V + 4}
]
Условие задачи:
Обратный путь (по течению) занимает на 2 часа меньше, чем путь против течения:
[
t_{против} - t_{по} = 2
]
Подставляем формулы времени:
[
\frac{165}{V - 4} - \frac{165}{V + 4} = 2
]
Решаем уравнение:
Общий множитель — 165, вынесем его за скобки:
[
165 \left( \frac{1}{V - 4} - \frac{1}{V + 4} \right) = 2
]
Объединим дроби внутри скобок:
[
165 \frac{(V + 4) - (V - 4)}{(V - 4)(V + 4)} = 2
]
В числителе:
[
(V + 4) - (V - 4) = V + 4 - V + 4 = 8
]
В знаменателе разность разностей:
[
(V - 4)(V + 4) = V^2 - 16
]
Подставляем обратно:
[
165 \frac{8}{V^2 - 16} = 2
]
Упростим:
[
\frac{1320}{V^2 - 16} = 2
]
Умножим обе части уравнения на ( V^2 - 16 ):
[
1320 = 2 (V^2 - 16)
]
Раскроем скобки:
[
1320 = 2V^2 - 32
]
Перенесем все в одну часть уравнения:
[
2V^2 = 1320 + 32
]
[
2V^2 = 1352
]
Разделим обе части на 2:
[
V^2 = 676
]
Теперь найдём ( V ):
[
V = \pm \sqrt{676} = \pm 26
]
Так как речь о скорости лодки, она не может быть отрицательной, следовательно:
[
V = 26 \text{ км/ч}
]
Ответ:
Скорость лодки в неподвижной воде — 26 км/ч.
