Моторная лодка прошла против течения реки 165км и вернулась в пункт отправления, затратив на обратный путь на 2 часа меньше, чем на путь против течения,. Найдите скорость лодки в…

Давайте решим задачу пошагово, подробно объясняя каждый этап.

Дано:

• Расстояние против течения: 165 км
• Скорость течения реки: \( V_{теч} = 4 \text{ км/ч} \)
• Время обратного пути меньше времени пути против течения на 2 часа.
• Необходимо найти скорость лодки в неподвижной воде: \( V_{лодки} = V \text{ км/ч} \)

Обозначения:

• \( V \): скорость лодки в неподвижной воде (наша искомая величина)
• \( V_{теч} = 4 \text{ км/ч} \): скорость течения
• \( D = 165 \text{ км} \): расстояние

Скорости:

• Против течения: скорость лодки относительно берега: \[ V_{против} = V - 4 \]
• По течению: скорость лодки относительно берега: \[ V_{по} = V + 4 \]

Время пути:

• Время против течения: \[ t_{против} = \frac{D}{V - 4} \]
• Время по течению: \[ t_{по} = \frac{D}{V + 4} \]

Условие задачи:

Обратный путь (по течению) занимает на 2 часа меньше, чем путь против течения: \[ t_{против} - t_{по} = 2 \]

Подставляем формулы времени: \[ \frac{165}{V - 4} - \frac{165}{V + 4} = 2 \]

Решаем уравнение:

Общий множитель — 165, вынесем его за скобки: \[ 165 \left( \frac{1}{V - 4} - \frac{1}{V + 4} \right) = 2 \]

Объединим дроби внутри скобок: \[ 165 \frac{(V + 4) - (V - 4)}{(V - 4)(V + 4)} = 2 \]

В числителе: \[ (V + 4) - (V - 4) = V + 4 - V + 4 = 8 \]

В знаменателе разность разностей: \[ (V - 4)(V + 4) = V^2 - 16 \]

Подставляем обратно: \[ 165 \frac{8}{V^2 - 16} = 2 \]

Упростим: \[ \frac{1320}{V^2 - 16} = 2 \]

Умножим обе части уравнения на \( V^2 - 16 \): \[ 1320 = 2 (V^2 - 16) \]

Раскроем скобки: \[ 1320 = 2V^2 - 32 \]

Перенесем все в одну часть уравнения: \[ 2V^2 = 1320 + 32 \] \[ 2V^2 = 1352 \]

Разделим обе части на 2: \[ V^2 = 676 \]

Теперь найдём \( V \): \[ V = \pm \sqrt{676} = \pm 26 \]

Так как речь о скорости лодки, она не может быть отрицательной, следовательно: \[ V = 26 \text{ км/ч} \]

Ответ:

Скорость лодки в неподвижной воде — 26 км/ч.