cos x (4sin²x - 4√3 *sin x+ 3) = 0
Давайте подробно разберем уравнение:
\[ \cos x \left( 4 \sin^2 x - 4 \sqrt{3} \sin x + 3 \right) = 0 \]
Цель — понять, как решить это уравнение. Для этого воспользуемся свойствами произведений: произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю.
Шаг 1. Разделение уравнения на два условия:
\[ \cos x = 0 \quad \text{или} \quad 4 \sin^2 x - 4 \sqrt{3} \sin x + 3 = 0 \]
Шаг 2. Решение первого уравнения:
\[ \cos x = 0 \]
Известно, что косинус равен нулю при:
\[ x = \frac{\pi}{2} + k\pi, \quad k \in \mathbb{Z} \]
Шаг 3. Решение второго уравнения:
Рассмотрим:
\[ 4 \sin^2 x - 4 \sqrt{3} \sin x + 3 = 0 \]
Это квадратное уравнение относительно \(\sin x\). Обозначим \(\sin x = t\), тогда:
\[ 4t^2 - 4 \sqrt{3} t + 3 = 0 \]
Шаг 4. Решение квадратного уравнения:
Используем формулу для решений:
\[ t = \frac{ -b \pm \sqrt{b^2 - 4ac} }{2a} \]
здесь:
- \(a = 4\)
- \(b = -4 \sqrt{3}\)
- \(c = 3\)
Подставляем:
\[ t = \frac{ 4 \sqrt{3} \pm \sqrt{ (-4 \sqrt{3})^2 - 4 \cdot 4 \cdot 3 } }{ 2 \cdot 4 } \]
Расчеты внутри корня:
\[ (-4 \sqrt{3})^2 = 16 \cdot 3 = 48 \] \[ 4 \cdot 4 \cdot 3 = 48 \]
Тогда:
\[ t = \frac{ 4 \sqrt{3} \pm \sqrt{48 - 48} }{8} = \frac{ 4 \sqrt{3} \pm \sqrt{0} }{8} \]
\[ t = \frac{ 4 \sqrt{3} \pm 0 }{8} = \frac{ 4 \sqrt{3} }{8 } = \frac{\sqrt{3}}{2} \]
Шаг 5. Анализ полученных решений для \(\sin x\):
\[ \sin x = t = \frac{\sqrt{3}}{2} \]
Известно, что:
\[ \sin x = \frac{\sqrt{3}}{2} \Rightarrow x = \frac{\pi}{3} + 2k\pi \quad \text{или} \quad x = \frac{2\pi}{3} + 2k\pi, \quad k \in \mathbb{Z} \]
Итоговое решение:
\[ \boxed{ x = \frac{\pi}{2} + k \pi, \quad k \in \mathbb{Z} } \]
и
\[ \boxed{ x = \frac{\pi}{3} + 2k\pi, \quad \text{или} \quad x = \frac{2\pi}{3} + 2k\pi, \quad k \in \mathbb{Z} } \]
Это все решения исходного уравнения.
