Cos x (4sin²x - 4√3 *sin x+ 3) = 0

Давайте подробно разберем уравнение: \[ \cos x \left( 4 \sin^2 x - 4 \sqrt{3} \sin x + 3 \right) = 0 \] Цель — понять, как решить это уравнение. Для этого воспользуемся свойствами произведений: произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю. --- ### Шаг 1. Разделение уравнения на два условия: \[ \cos x = 0 \quad \text{или} \quad 4 \sin^2 x - 4 \sqrt{3} \sin x + 3 = 0 \] --- ### Шаг 2. Решение первого уравнения: \[ \cos x = 0 \] Известно, что косинус равен нулю при: \[ x = \frac{\pi}{2} + k\pi, \quad k \in \mathbb{Z} \] --- ### Шаг 3. Решение второго уравнения: Рассмотрим: \[ 4 \sin^2 x - 4 \sqrt{3} \sin x + 3 = 0 \] Это квадратное уравнение относительно \(\sin x\). Обозначим \(\sin x = t\), тогда: \[ 4t^2 - 4 \sqrt{3} t + 3 = 0 \] --- ### Шаг 4. Решение квадратного уравнения: Используем формулу для решений: \[ t = \frac{ -b \pm \sqrt{b^2 - 4ac} }{2a} \] здесь: - \(a = 4\) - \(b = -4 \sqrt{3}\) - \(c = 3\) Подставляем: \[ t = \frac{ 4 \sqrt{3} \pm \sqrt{ (-4 \sqrt{3})^2 - 4 \cdot 4 \cdot 3 } }{ 2 \cdot 4 } \] Расчеты внутри корня: \[ (-4 \sqrt{3})^2 = 16 \cdot 3 = 48 \] \[ 4 \cdot 4 \cdot 3 = 48 \] Тогда: \[ t = \frac{ 4 \sqrt{3} \pm \sqrt{48 - 48} }{8} = \frac{ 4 \sqrt{3} \pm \sqrt{0} }{8} \] \[ t = \frac{ 4 \sqrt{3} \pm 0 }{8} = \frac{ 4 \sqrt{3} }{8 } = \frac{\sqrt{3}}{2} \] *** ### Шаг 5. Анализ полученных решений для \(\sin x\): \[ \sin x = t = \frac{\sqrt{3}}{2} \] Известно, что: \[ \sin x = \frac{\sqrt{3}}{2} \Rightarrow x = \frac{\pi}{3} + 2k\pi \quad \text{или} \quad x = \frac{2\pi}{3} + 2k\pi, \quad k \in \mathbb{Z} \] --- ### Итоговое решение: \[ \boxed{ x = \frac{\pi}{2} + k \pi, \quad k \in \mathbb{Z} } \] и \[ \boxed{ x = \frac{\pi}{3} + 2k\pi, \quad \text{или} \quad x = \frac{2\pi}{3} + 2k\pi, \quad k \in \mathbb{Z} } \] Это все решения исходного уравнения.