Уравнение: y=x5-8x.
Давайте подробно разберем уравнение \( y = x^5 - 8x \).
Цель: Понять, что это за уравнение, какие у него свойства и как его анализировать.
1. Что представляет собой это уравнение?
Это — уравнение, задающее функцию \( y \) в зависимости от переменной \( x \): \[ y = x^5 - 8x \] Это многочлен пятой степени (так как самая высокая степень у переменной — 5).
2. Анализируем функцию: ключевые моменты
####a) Область определения:
Для любых действительных чисел \( x \), выражение \( y = x^5 - 8x \) определено.
Область определения: \( \mathbb{R} \).
####b) Степень и вид графика:
- Степень — 5 (непарная, многочлен с одной "ветвью" вверх слева и вниз справа).
- Функция — полипропускная, т.е. меняет направление на графике.
3. Нахождение критических точек и экстремумов
Чтобы понять, где функция возрастает или убывает, найдем её первую производную:
\[ y' = \frac{d}{dx}(x^5 - 8x) = 5x^4 - 8 \]
Теперь ищем точки, где \( y' = 0 \):
\[ 5x^4 - 8 = 0 \Rightarrow 5x^4 = 8 \Rightarrow x^4 = \frac{8}{5} \]
Следовательно,
\[ x = \pm \sqrt[4]{\frac{8}{5}} \]
Обозначим:
\[ x_{1} = \sqrt[4]{\frac{8}{5}}, \quad x_{2} = -\sqrt[4]{\frac{8}{5}} \]
4. Анализ знака производной
Для \( x > \sqrt[4]{8/5} \), так как \( x^4 > 8/5 \), то \( y' > 0 \).
Значит, функция возрастает.Для \( -\sqrt[4]{8/5} < x < \sqrt[4]{8/5} \), \( y' < 0 \).
Функция убывает.Для \( x < -\sqrt[4]{8/5} \), \( y' > 0 \), функция снова возрастает.
Итак, график:
- возрастает слева до точки \( x = -\sqrt[4]{8/5} \),
- убывает между \( -\sqrt[4]{8/5} \) и \( \sqrt[4]{8/5} \),
- снова возрастает после \( \sqrt[4]{8/5} \).
5. Определение экстремумов
В каждой критической точке — экстремум (минимум или максимум).
Второй шаг — проверить знак второй производной:
\[ y'' = \frac{d}{dx}(5x^4 - 8) = 20x^3 \]
- В точке \( x = \sqrt[4]{8/5} > 0 \):
\[ y''(\sqrt[4]{8/5}) = 20 (\sqrt[4]{8/5})^3 > 0 \]
Значит, в этой точке — минимум.
- В точке \( x = -\sqrt[4]{8/5} < 0 \):
\[ y''(-\sqrt[4]{8/5}) = 20 (-\sqrt[4]{8/5})^3 < 0 \]
Там — максимум.
6. Значения функции в экстремумах
Подставим \( x = \pm \sqrt[4]{8/5} \) в исходное уравнение, чтобы найти соответствующие \( y \):
\[ y = x^5 - 8x \]
Заметим: \( x^4 = 8/5 \)
Тогда:
\[ x^5 = x \cdot x^4 = x \cdot \frac{8}{5} \]
Подставляем:
\[ y = x \cdot \frac{8}{5} - 8x = x \left( \frac{8}{5} - 8 \right) \]
Упростим скобки:
\[ \frac{8}{5} - 8 = \frac{8}{5} - \frac{40}{5} = - \frac{32}{5} \]
Следовательно:
\[ y = x \cdot \left(- \frac{32}{5}\right) \]
Значения экстремумов:
- В точке \( x = \sqrt[4]{8/5} \):
\[ y_{\min} = \sqrt[4]{8/5} \cdot \left(- \frac{32}{5}\right) = - \frac{32}{5} \sqrt[4]{\frac{8}{5}} \]
- В точке \( x = - \sqrt[4]{8/5} \):
\[ y_{\max} = - \sqrt[4]{8/5} \cdot \left(- \frac{32}{5}\right) = + \frac{32}{5} \sqrt[4]{\frac{8}{5}} \]
7. Итоговое описание функции
- График — полином пятой степени с одним максима и одним минимумом.
- Область определениях — вся \( \mathbb{R} \).
- В точках \( x = \pm \sqrt[4]{8/5} \) находятся экстремумы:
- Максимум — при \( x = - \sqrt[4]{8/5} \),
- Минимум — при \( x = \sqrt[4]{8/5} \).
- В окрестностях экстремумов функция меняет направление.
Если нужно, я могу помочь построить график или найти конкретные значения для заданных \( x \).
