Уравнение: y=x5-8x.

Давайте подробно разберем уравнение \( y = x^5 - 8x \). **Цель:** Понять, что это за уравнение, какие у него свойства и как его анализировать. --- ### 1. Что представляет собой это уравнение? Это — уравнение, задающее функцию \( y \) в зависимости от переменной \( x \): \[ y = x^5 - 8x \] Это многочлен пятой степени (так как самая высокая степень у переменной — 5). --- ### 2. Анализируем функцию: ключевые моменты ####a) Область определения: Для любых действительных чисел \( x \), выражение \( y = x^5 - 8x \) определено. **Область определения:** \( \mathbb{R} \). ####b) Степень и вид графика: - Степень — 5 (непарная, многочлен с одной "ветвью" вверх слева и вниз справа). - Функция — полипропускная, т.е. меняет направление на графике. --- ### 3. Нахождение критических точек и экстремумов Чтобы понять, где функция возрастает или убывает, найдем её первую производную: \[ y' = \frac{d}{dx}(x^5 - 8x) = 5x^4 - 8 \] Теперь ищем точки, где \( y' = 0 \): \[ 5x^4 - 8 = 0 \Rightarrow 5x^4 = 8 \Rightarrow x^4 = \frac{8}{5} \] Следовательно, \[ x = \pm \sqrt[4]{\frac{8}{5}} \] Обозначим: \[ x_{1} = \sqrt[4]{\frac{8}{5}}, \quad x_{2} = -\sqrt[4]{\frac{8}{5}} \] ### 4. Анализ знака производной - Для \( x > \sqrt[4]{8/5} \), так как \( x^4 > 8/5 \), то \( y' > 0 \). **Значит, функция возрастает.** - Для \( -\sqrt[4]{8/5} < x < \sqrt[4]{8/5} \), \( y' < 0 \). **Функция убывает.** - Для \( x < -\sqrt[4]{8/5} \), \( y' > 0 \), функция снова возрастает. Итак, график: - возрастает слева до точки \( x = -\sqrt[4]{8/5} \), - убывает между \( -\sqrt[4]{8/5} \) и \( \sqrt[4]{8/5} \), - снова возрастает после \( \sqrt[4]{8/5} \). --- ### 5. Определение экстремумов В каждой критической точке — экстремум (минимум или максимум). Второй шаг — проверить знак второй производной: \[ y'' = \frac{d}{dx}(5x^4 - 8) = 20x^3 \] - В точке \( x = \sqrt[4]{8/5} > 0 \): \[ y''(\sqrt[4]{8/5}) = 20 (\sqrt[4]{8/5})^3 > 0 \] Значит, в этой точке — **минимум**. - В точке \( x = -\sqrt[4]{8/5} < 0 \): \[ y''(-\sqrt[4]{8/5}) = 20 (-\sqrt[4]{8/5})^3 < 0 \] Там — **максимум**. --- ### 6. Значения функции в экстремумах Подставим \( x = \pm \sqrt[4]{8/5} \) в исходное уравнение, чтобы найти соответствующие \( y \): \[ y = x^5 - 8x \] Заметим: \( x^4 = 8/5 \) Тогда: \[ x^5 = x \cdot x^4 = x \cdot \frac{8}{5} \] Подставляем: \[ y = x \cdot \frac{8}{5} - 8x = x \left( \frac{8}{5} - 8 \right) \] Упростим скобки: \[ \frac{8}{5} - 8 = \frac{8}{5} - \frac{40}{5} = - \frac{32}{5} \] Следовательно: \[ y = x \cdot \left(- \frac{32}{5}\right) \] Значения экстремумов: - В точке \( x = \sqrt[4]{8/5} \): \[ y_{\min} = \sqrt[4]{8/5} \cdot \left(- \frac{32}{5}\right) = - \frac{32}{5} \sqrt[4]{\frac{8}{5}} \] - В точке \( x = - \sqrt[4]{8/5} \): \[ y_{\max} = - \sqrt[4]{8/5} \cdot \left(- \frac{32}{5}\right) = + \frac{32}{5} \sqrt[4]{\frac{8}{5}} \] --- ### 7. Итоговое описание функции - График — полином пятой степени с одним максима и одним минимумом. - Область определениях — вся \( \mathbb{R} \). - В точках \( x = \pm \sqrt[4]{8/5} \) находятся экстремумы: - Максимум — при \( x = - \sqrt[4]{8/5} \), - Минимум — при \( x = \sqrt[4]{8/5} \). - В окрестностях экстремумов функция меняет направление. --- Если нужно, я могу помочь построить график или найти конкретные значения для заданных \( x \).