Найти параболу

Рассмотрим задачу: найти параболу, заданную уравнением. В вашем изображении на доске есть уравнения, и для решения задачи нужно понять, какое из них соответствует искомой параболе или как их использовать для нахождения параболы. Парабола — это коническое сечение, которое задается квадратичным уравнением вида: \[ y = ax^2 + bx + c \] или в другом виде. Часто для определения уравнения параболы используют три ключевые точки, через которые она проходит. Тогда можно составить систему уравнений и решить её. --- **Обратим внимание на доступные уравнения:** 1. \( y = x^2 - 1 \) с точкой \((-1; 2)\) 2. \( y = x^2 - 2 \) с точкой \([1; 3)\) 3. \( y = x^2 + 2 \) с точкой \([-1; 1)\) 4. \( y = x^2 - 2x \) с точкой \((10; 3)\) 5. \( y = x^2 + 2x \) с точкой \([-3; 0]\) *Для учебной задачи* — обычно, чтобы найти уравнение параболы, смотрят на три точки, которые лежат на ней, или используют известные данные о вершине, фокусе или точки пересечения. --- **Давайте попробуем найти уравнение для одной из парабол, используя три точки.** Рассмотрим уравнение № 4: \( y = x^2 - 2x \), и точку \((10, 3)\). Подставим координаты точки в уравнение: \[ 3 = (10)^2 - 2 \times 10 \] \[ 3 = 100 - 20 \] \[ 3 = 80 \] Это не совпадает, значит это уравнение не подходит для данной точки. --- **Теперь попробуем уравнение № 5: \( y = x^2 + 2x \), точка \([-3, 0]\).** Подставим: \[ 0 = (-3)^2 + 2 \times (-3) \] \[ 0 = 9 - 6 \] \[ 0 = 3 \] Нет, тоже не подходит. --- **Вероятно, у нас есть уравнение, которое соответствует данной точке — например, попробуем уравнение № 2: \( y = x^2 - 2 \), точка \([1, 3)\).** Подставим \( x=1 \): \[ y = 1^2 - 2 = 1 - 2 = -1 \] Это не совпадает с 3, значит, оно не подходит. --- **Что еще можно сделать?** Если цель — найти уравнение параболы, проходящей через данную точку \((1, 3)\) и, например, через \((-1, 2)\), которые есть среди данных, то можно составить систему уравнений. Обозначим уравнение параболы: \( y = ax^2 + bx + c \). Точки: - \((-1, 2)\) - \((1, 3)\) - Возьмем, например, \((10, 3)\) Подставим эти точки: 1. Для \((-1, 2)\): \[ 2 = a(-1)^2 + b(-1) + c = a - b + c \] 2. Для \((1, 3)\): \[ 3 = a(1)^2 + b(1) + c = a + b + c \] 3. Для \((10, 3)\): \[ 3 = a(100) + b(10) + c \] Это система: \[ \begin{cases} a - b + c = 2 \\ a + b + c = 3 \\ 100a + 10b + c = 3 \\ \end{cases} \] Решим её по шагам: **Шаг 1:** Вычтем первое уравнение из второго: \[ (a + b + c) - (a - b + c) = 3 - 2 \] \[ a + b + c - a + b - c = 1 \] \[ 2b = 1 \] \[ b = \frac{1}{2} \] **Шаг 2:** Подставим \(b = 1/2\) в первое уравнение: \[ a - \frac{1}{2} + c = 2 \] \[ a + c = 2 + \frac{1}{2} = \frac{5}{2} \] **Шаг 3:** Подставим \(b = 1/2\) в третье уравнение: \[ 100a + 10 \times \frac{1}{2} + c = 3 \] \[ 100a + 5 + c = 3 \] \[ 100a + c = -2 \] Теперь у нас есть: \[ a + c = \frac{5}{2} \] \[ 100a + c = -2 \] Вычтем первое уравнение из второго: \[ (100a + c) - (a + c) = -2 - \frac{5}{2} \] \[ 99a = -2 - \frac{5}{2} = -2 - 2.5 = -4.5 \] \[ a = \frac{-4.5}{99} = -\frac{4.5}{99} = -\frac{1}{22} \] Наконец, найдём \(c\): \[ a + c = \frac{5}{2} \] \[ -\frac{1}{22} + c = \frac{5}{2} \] \[ c = \frac{5}{2} + \frac{1}{22} \] Приведем к общему знаменателю 22: \[ \frac{5}{2} = \frac{55}{22} \] \[ c = \frac{55}{22} + \frac{1}{22} = \frac{56}{22} = \frac{28}{11} \] --- **Итак, уравнение искомой параболы:** \[ \boxed{ y = -\frac{1}{22}x^2 + \frac{1}{2}x + \frac{28}{11} } \] --- Если нужно, я могу помочь подробнее или решить то же уравнение для других точек. Также, если хотите — я могу объяснить, как проверить или построить график параболы по уравнению.