найти параболу
Рассмотрим задачу: найти параболу, заданную уравнением. В вашем изображении на доске есть уравнения, и для решения задачи нужно понять, какое из них соответствует искомой параболе или как их использовать для нахождения параболы.
Парабола — это коническое сечение, которое задается квадратичным уравнением вида:
\[ y = ax^2 + bx + c \]
или в другом виде. Часто для определения уравнения параболы используют три ключевые точки, через которые она проходит. Тогда можно составить систему уравнений и решить её.
Обратим внимание на доступные уравнения:
- \( y = x^2 - 1 \) с точкой \((-1; 2)\)
- \( y = x^2 - 2 \) с точкой \([1; 3)\)
- \( y = x^2 + 2 \) с точкой \([-1; 1)\)
- \( y = x^2 - 2x \) с точкой \((10; 3)\)
- \( y = x^2 + 2x \) с точкой \([-3; 0]\)
Для учебной задачи — обычно, чтобы найти уравнение параболы, смотрят на три точки, которые лежат на ней, или используют известные данные о вершине, фокусе или точки пересечения.
Давайте попробуем найти уравнение для одной из парабол, используя три точки.
Рассмотрим уравнение № 4: \( y = x^2 - 2x \), и точку \((10, 3)\).
Подставим координаты точки в уравнение:
\[ 3 = (10)^2 - 2 \times 10 \] \[ 3 = 100 - 20 \] \[ 3 = 80 \]
Это не совпадает, значит это уравнение не подходит для данной точки.
Теперь попробуем уравнение № 5: \( y = x^2 + 2x \), точка \([-3, 0]\).
Подставим:
\[ 0 = (-3)^2 + 2 \times (-3) \] \[ 0 = 9 - 6 \] \[ 0 = 3 \]
Нет, тоже не подходит.
Вероятно, у нас есть уравнение, которое соответствует данной точке — например, попробуем уравнение № 2: \( y = x^2 - 2 \), точка \([1, 3)\).
Подставим \( x=1 \):
\[ y = 1^2 - 2 = 1 - 2 = -1 \]
Это не совпадает с 3, значит, оно не подходит.
Что еще можно сделать?
Если цель — найти уравнение параболы, проходящей через данную точку \((1, 3)\) и, например, через \((-1, 2)\), которые есть среди данных, то можно составить систему уравнений.
Обозначим уравнение параболы: \( y = ax^2 + bx + c \).
Точки:
- \((-1, 2)\)
- \((1, 3)\)
- Возьмем, например, \((10, 3)\)
Подставим эти точки:
- Для \((-1, 2)\):
\[ 2 = a(-1)^2 + b(-1) + c = a - b + c \]
- Для \((1, 3)\):
\[ 3 = a(1)^2 + b(1) + c = a + b + c \]
- Для \((10, 3)\):
\[ 3 = a(100) + b(10) + c \]
Это система:
\[ \begin{cases} a - b + c = 2 \\ a + b + c = 3 \\ 100a + 10b + c = 3 \\ \end{cases} \]
Решим её по шагам:
Шаг 1: Вычтем первое уравнение из второго:
\[ (a + b + c) - (a - b + c) = 3 - 2 \] \[ a + b + c - a + b - c = 1 \] \[ 2b = 1 \] \[ b = \frac{1}{2} \]
Шаг 2: Подставим \(b = 1/2\) в первое уравнение:
\[ a - \frac{1}{2} + c = 2 \] \[ a + c = 2 + \frac{1}{2} = \frac{5}{2} \]
Шаг 3: Подставим \(b = 1/2\) в третье уравнение:
\[ 100a + 10 \times \frac{1}{2} + c = 3 \] \[ 100a + 5 + c = 3 \] \[ 100a + c = -2 \]
Теперь у нас есть:
\[ a + c = \frac{5}{2} \] \[ 100a + c = -2 \]
Вычтем первое уравнение из второго:
\[ (100a + c) - (a + c) = -2 - \frac{5}{2} \] \[ 99a = -2 - \frac{5}{2} = -2 - 2.5 = -4.5 \] \[ a = \frac{-4.5}{99} = -\frac{4.5}{99} = -\frac{1}{22} \]
Наконец, найдём \(c\):
\[ a + c = \frac{5}{2} \] \[ -\frac{1}{22} + c = \frac{5}{2} \] \[ c = \frac{5}{2} + \frac{1}{22} \]
Приведем к общему знаменателю 22:
\[ \frac{5}{2} = \frac{55}{22} \] \[ c = \frac{55}{22} + \frac{1}{22} = \frac{56}{22} = \frac{28}{11} \]
Итак, уравнение искомой параболы:
\[ \boxed{ y = -\frac{1}{22}x^2 + \frac{1}{2}x + \frac{28}{11} } \]
Если нужно, я могу помочь подробнее или решить то же уравнение для других точек. Также, если хотите — я могу объяснить, как проверить или построить график параболы по уравнению.
