5^(х +√х -1)+6×5^(х-√х+1) -5^(х+1) =0
Рассмотрим уравнение:
\[ 5^{x + \sqrt{x} - 1} + 6 \times 5^{x - \sqrt{x} + 1} - 5^{x + 1} = 0 \]
Постарайтесь понять пошаговое решение этого уравнения.
Шаг 1: Обозначения и упрощение выражений
Обозначим:
\[ A = 5^{x} \]
Поскольку в уравнении есть выражения вида \(5^{x + \sqrt{x} - 1}\), \(5^{x - \sqrt{x} + 1}\) и \(5^{x + 1}\), запишем каждое из них через \(A\):
\(5^{x + \sqrt{x} - 1} = 5^{x} \times 5^{\sqrt{x}} \times 5^{-1} = A \times 5^{\sqrt{x}} \times \frac{1}{5} = \frac{A \times 5^{\sqrt{x}}}{5}\)
\(5^{x - \sqrt{x} + 1} = 5^{x} \times 5^{-\sqrt{x}} \times 5^{1} = A \times 5^{-\sqrt{x}} \times 5 = 5A \times 5^{-\sqrt{x}}\)
\(5^{x + 1} = 5^{x} \times 5^{1} = 5A\)
Теперь уравнение запишем в виде:
\[ \frac{A \times 5^{\sqrt{x}}}{5} + 6 \times (5A \times 5^{-\sqrt{x}}) - 5A = 0 \]
Шаг 2: Упростим выражения
Перепишем уравнение:
\[ \frac{A \times 5^{\sqrt{x}}}{5} + 30A \times 5^{-\sqrt{x}} - 5A = 0 \]
Обозначим новую переменную:
\[ t = 5^{\sqrt{x}} \]
Тогда:
\[ 5^{-\sqrt{x}} = \frac{1}{t} \]
Также заметим, что \(A = 5^{x}\), а \(x\) еще неизвестно, но можно связать \(A\) и \(t\):
\[ A = 5^{x} = \left(5^{\sqrt{x}}\right)^{\frac{x}{\sqrt{x}}} = t^{\frac{x}{\sqrt{x}}} = t^{\sqrt{x}} \]
Но чтобы избежать усложнения, рассмотрим, что \(A\) — постоянная при фиксированном \(x\), а уравнение по \(t\) и \(A\).
Шаг 3: Прошло внутрь в уравнение
Вернемся к уравнению и выразим его через \(t\):
\[ \frac{A \times t}{5} + 30A \times \frac{1}{t} - 5A = 0 \]
Вынесем за скобки \(A\):
\[ A \left( \frac{t}{5} + \frac{30}{t} - 5 \right) = 0 \]
Чтобы решить уравнение, либо
\[ A=0 \]
или
\[ \frac{t}{5} + \frac{30}{t} - 5 = 0 \]
Первое невозможно, так как \(A=5^x>0\), исключим.
Шаг 4: Решим уравнение относительно \(t\)
Рассмотрим:
\[ \frac{t}{5} + \frac{30}{t} - 5 = 0 \]
Приведем к общему знаменателю:
\[ \frac{t^2}{5t} + \frac{150}{5t} - \frac{5t}{5t} = 0 \]
или проще умножим обе части уравнения на \(5t\):
\[ t^2 + 150 - 5t^2 = 0 \]
Объединим подобные:
\[ -t^2 + 150 = 0 \]
или
\[ t^2 = 150 \]
Следовательно,
\[ t = \pm \sqrt{150} = \pm 5 \sqrt{6} \]
Но поскольку \(t = 5^{\sqrt{x}}\), и \(5^{\sqrt{x}}\) строго положительно, то
\[ t = 5 \sqrt{6} \]
Шаг 5: Найдём \(x\)
Теперь:
\[ 5^{\sqrt{x}} = 5 \sqrt{6} \]
Запишем:
\[ 5^{\sqrt{x}} = 5 \times \sqrt{6} \]
Может быть, выражение справа переписано как:
\[ 5^{\sqrt{x}} = 5 \times 6^{1/2} \]
или
\[ 5^{\sqrt{x}} = 5 \times 6^{1/2} \]
Используя свойства степеней, перепишем левое в экспоненциальной форме:
\[ 5^{\sqrt{x}} = 5^{1} \times 6^{1/2} \]
Из этого равенства можно взять логарифм по основанию 5:
\[ \sqrt{x} = 1 + \log_{5}(6^{1/2}) = 1 + \frac{1}{2} \log_{5}(6) \]
Обозначим:
\[ \log_{5}(6) = y \]
Тогда:
\[ \sqrt{x} = 1 + \frac{1}{2} y \]
А \(\log_{5}(6) = y\):
\[ \Rightarrow 6 = 5^{y} \]
Решим это:
\[ \Rightarrow y = \log_{5}(6) \]
Теперь выразим \(x\):
\[ x = \left( 1 + \frac{1}{2} \log_{5}(6) \right)^2 \]
Ответ:
\[ \boxed{ x = \left( 1 + \frac{1}{2} \log_{5}(6) \right)^2 } \]
Это — решение уравнения. В зависимости от условий задачи, его можно оставить в таком виде или вычислить приблизительно численно.
Если нужны дополнительные разъяснения или более конкретное числовое значение — скажите!
