5^(х +√х -1)+6×5^(х-√х+1) -5^(х+1) =0

Рассмотрим уравнение: \[ 5^{x + \sqrt{x} - 1} + 6 \times 5^{x - \sqrt{x} + 1} - 5^{x + 1} = 0 \] Постарайтесь понять пошаговое решение этого уравнения. --- ### Шаг 1: Обозначения и упрощение выражений Обозначим: \[ A = 5^{x} \] Поскольку в уравнении есть выражения вида \(5^{x + \sqrt{x} - 1}\), \(5^{x - \sqrt{x} + 1}\) и \(5^{x + 1}\), запишем каждое из них через \(A\): - \(5^{x + \sqrt{x} - 1} = 5^{x} \times 5^{\sqrt{x}} \times 5^{-1} = A \times 5^{\sqrt{x}} \times \frac{1}{5} = \frac{A \times 5^{\sqrt{x}}}{5}\) - \(5^{x - \sqrt{x} + 1} = 5^{x} \times 5^{-\sqrt{x}} \times 5^{1} = A \times 5^{-\sqrt{x}} \times 5 = 5A \times 5^{-\sqrt{x}}\) - \(5^{x + 1} = 5^{x} \times 5^{1} = 5A\) Теперь уравнение запишем в виде: \[ \frac{A \times 5^{\sqrt{x}}}{5} + 6 \times (5A \times 5^{-\sqrt{x}}) - 5A = 0 \] --- ### Шаг 2: Упростим выражения Перепишем уравнение: \[ \frac{A \times 5^{\sqrt{x}}}{5} + 30A \times 5^{-\sqrt{x}} - 5A = 0 \] Обозначим новую переменную: \[ t = 5^{\sqrt{x}} \] Тогда: \[ 5^{-\sqrt{x}} = \frac{1}{t} \] Также заметим, что \(A = 5^{x}\), а \(x\) еще неизвестно, но можно связать \(A\) и \(t\): \[ A = 5^{x} = \left(5^{\sqrt{x}}\right)^{\frac{x}{\sqrt{x}}} = t^{\frac{x}{\sqrt{x}}} = t^{\sqrt{x}} \] Но чтобы избежать усложнения, рассмотрим, что \(A\) — постоянная при фиксированном \(x\), а уравнение по \(t\) и \(A\). ### Шаг 3: Прошло внутрь в уравнение Вернемся к уравнению и выразим его через \(t\): \[ \frac{A \times t}{5} + 30A \times \frac{1}{t} - 5A = 0 \] Вынесем за скобки \(A\): \[ A \left( \frac{t}{5} + \frac{30}{t} - 5 \right) = 0 \] Чтобы решить уравнение, либо \[ A=0 \] или \[ \frac{t}{5} + \frac{30}{t} - 5 = 0 \] Первое невозможно, так как \(A=5^x>0\), исключим. --- ### Шаг 4: Решим уравнение относительно \(t\) Рассмотрим: \[ \frac{t}{5} + \frac{30}{t} - 5 = 0 \] Приведем к общему знаменателю: \[ \frac{t^2}{5t} + \frac{150}{5t} - \frac{5t}{5t} = 0 \] или проще умножим обе части уравнения на \(5t\): \[ t^2 + 150 - 5t^2 = 0 \] Объединим подобные: \[ -t^2 + 150 = 0 \] или \[ t^2 = 150 \] Следовательно, \[ t = \pm \sqrt{150} = \pm 5 \sqrt{6} \] Но поскольку \(t = 5^{\sqrt{x}}\), и \(5^{\sqrt{x}}\) строго положительно, то \[ t = 5 \sqrt{6} \] --- ### Шаг 5: Найдём \(x\) Теперь: \[ 5^{\sqrt{x}} = 5 \sqrt{6} \] Запишем: \[ 5^{\sqrt{x}} = 5 \times \sqrt{6} \] Может быть, выражение справа переписано как: \[ 5^{\sqrt{x}} = 5 \times 6^{1/2} \] или \[ 5^{\sqrt{x}} = 5 \times 6^{1/2} \] Используя свойства степеней, перепишем левое в экспоненциальной форме: \[ 5^{\sqrt{x}} = 5^{1} \times 6^{1/2} \] Из этого равенства можно взять логарифм по основанию 5: \[ \sqrt{x} = 1 + \log_{5}(6^{1/2}) = 1 + \frac{1}{2} \log_{5}(6) \] Обозначим: \[ \log_{5}(6) = y \] Тогда: \[ \sqrt{x} = 1 + \frac{1}{2} y \] А \(\log_{5}(6) = y\): \[ \Rightarrow 6 = 5^{y} \] Решим это: \[ \Rightarrow y = \log_{5}(6) \] Теперь выразим \(x\): \[ x = \left( 1 + \frac{1}{2} \log_{5}(6) \right)^2 \] --- ### **Ответ:** \[ \boxed{ x = \left( 1 + \frac{1}{2} \log_{5}(6) \right)^2 } \] Это — решение уравнения. В зависимости от условий задачи, его можно оставить в таком виде или вычислить приблизительно численно. --- Если нужны дополнительные разъяснения или более конкретное числовое значение — скажите!