Вариант 2 Решите уравнение 1) 60/x - 60/(x + 5) = 1/5 2) 3x ^ 4 + 8x ^ 2 - 3 = 0 3) (x ^ 4)/((x - 2) ^ 2) - (4x ^ 2)/(x - 2) - 5 = 0
Конечно! Сейчас я подробно решу каждое из предложенных уравнений и объясню шаг за шагом.
Вариант 2
1) Решите уравнение:
\[ \frac{60}{x} - \frac{60}{x+5} = \frac{1}{5} \]
Решение:
Шаг 1: Обозначим, что \(x \neq 0\) и \(x \neq -5\), чтобы знаменатели не были равны нулю.
Шаг 2: Приведем левую часть к общему знаменателю. Общий знаменатель — это \(x(x+5)\). Тогда:
\[ \frac{60(x+5)}{x(x+5)} - \frac{60x}{x(x+5)} = \frac{1}{5} \]
Шаг 3: Выполним умножение:
\[ \frac{60(x+5) - 60x}{x(x+5)} = \frac{1}{5} \]
Раскроем скобки:
\[ \frac{60x + 300 - 60x}{x(x+5)} = \frac{1}{5} \]
Обратите внимание, что \(60x - 60x = 0\), поэтому числитель станет:
\[ \frac{300}{x(x+5)} = \frac{1}{5} \]
Шаг 4: Теперь умножим обе части уравнения на \(x(x+5)\), чтобы избавиться от дроби:
\[ 300 = \frac{1}{5} \cdot x(x+5) \]
или
\[ 300 = \frac{x(x+5)}{5} \]
Шаг 5: Умножим обе части уравнения на 5:
\[ 1500 = x(x+5) \]
Раскроем скобки:
\[ 1500 = x^2 + 5x \]
Шаг 6: Перенесем всё в одну сторону и получим квадратное уравнение:
\[ x^2 + 5x - 1500 = 0 \]
Шаг 7: Решаем квадратное уравнение: \(\;x^2 + 5x - 1500=0\).
Используем формулу:
\[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \]
где \(a=1\), \(b=5\),\(c=-1500\).
Вычислим дискриминант:
\[ D = 5^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-1500) = 25 + 6000 = 6025 \]
Вычислим корень из дискриминанта:
\[ \sqrt{6025} \approx 77.6 \]
Шаг 8: Получаем два решения:
\[ x = \frac{-5 \pm 77.6}{2} \]
- Первое:
\[ x = \frac{-5 + 77.6}{2} = \frac{72.6}{2} = 36.3 \]
- Второе:
\[ x = \frac{-5 - 77.6}{2} = \frac{-82.6}{2} = -41.3 \]
Шаг 9: Проверка исключений: \(x \neq 0\), \(x \neq -5\). Решения \(x \approx 36.3\) и \(x \approx -41.3\) подходят.
Итог:
\[ \boxed{ x \approx 36.3 \quad \text{или} \quad x \approx -41.3 } \]
2) Решите уравнение:
\[ 3x^4 + 8x^2 - 3 = 0 \]
Решение:
Шаг 1: Обозначим \(t = x^2\). Тогда уравнение превращается в:
\[ 3t^2 + 8t - 3 = 0 \]
Это — квадратно-степенное уравнение по \(t\).
Шаг 2: Решаем его так же, как обычное квадратное уравнение:
\[ a=3, \quad b=8, \quad c=-3 \]
Дискриминант:
\[ D = 8^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-3) = 64 + 36 = 100 \]
\[ \sqrt{D} = 10 \]
Шаг 3: Находим \(t\):
\[ t = \frac{-8 \pm 10}{2 \cdot 3} = \frac{-8 \pm 10}{6} \]
Два варианта:
\(t_1 = \frac{-8 + 10}{6} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}\)
\(t_2 = \frac{-8 - 10}{6} = \frac{-18}{6} = -3\)
Шаг 4: Возвращаемся к \(x\):
- Для \(t_1 = \frac{1}{3}\):
\[ x^2 = \frac{1}{3} \Rightarrow x = \pm \sqrt{\frac{1}{3}} = \pm \frac{1}{\sqrt{3}} = \pm \frac{\sqrt{3}}{3} \]
- Для \(t_2 = -3\):
\[ x^2 = -3 \]
а поскольку квадрат не может равняться отрицательному числу, это решение отвергается.
Итог:
\[ \boxed{ x = \pm \frac{\sqrt{3}}{3} } \]
3) Решите уравнение:
\[ \frac{x^4}{(x-2)^2} - \frac{4x^2}{x - 2} - 5 = 0 \]
Решение:
Шаг 1: Обозначим \(t = x - 2\). Тогда \(x = t + 2\). Также:
\[ x^2 = (t+2)^2 = t^2 + 4t + 4 \] \[ x^4 = (x^2)^2 \]
Но для упрощения, заметим, что уравнение содержит выражения с \(x^4\) и \(x^2\), а также деление на \((x-2)\). В лучшее случае — выразить всё через \(t\).
Шаг 2: Перепишем уравнение:
\[ \frac{x^4}{t^2} - \frac{4x^2}{t} - 5=0 \]
Заменим \(x^2\):
\[ x^2 = (t+2)^2 = t^2 + 4t + 4 \]
и \(x^4 = (x^2)^2 = (t^2 + 4t + 4)^2\).
Это довольно громоздко, поэтому лучше оставить в виде — подставить \(x^2\), и решить уравнение через \(x^2\).
Альтернатива: Пусть \(y = x^2\), тогда уравнение:
\[ \frac{y^2}{(x-2)^2} - \frac{4 y}{x-2} - 5=0 \]
Заметим, что \((x-2)^2\) — это выражение, связанное с \(y = x^2\), и тут лучше вернуться к исходной форме.
Шаг 3: Раскроем выражения:
\[ \frac{x^4}{(x-2)^2} - \frac{4x^2}{x-2} = 5 \]
Возьмем общее выражение:
\[ \frac{x^4 - 4x^2 (x-2)}{(x-2)^2} = 5 \]
Раскроем числитель:
\[ x^4 - 4x^2 (x-2) = x^4 - 4x^3 + 8x^2 \]
Это выражение под дробью:
\[ \frac{x^4 - 4x^3 + 8x^2}{(x-2)^2} = 5 \]
Теперь умножим обе части на \((x-2)^2\):
\[ x^4 - 4x^3 + 8x^2 = 5(x-2)^2 \]
Раскроем правую часть:
\[ 5(x^2 - 4x + 4) = 5x^2 - 20x + 20 \]
Итог уравнения:
\[ x^4 - 4x^3 + 8x^2 = 5x^2 - 20x + 20 \]
Перенесем все в левую сторону:
\[ x^4 - 4x^3 + 8x^2 - 5x^2 + 20x - 20 = 0 \]
Объединим подобные:
\[ x^4 - 4x^3 + 3x^2 + 20x - 20 = 0 \]
Решение этого уравнения — сложное.
Можно попробовать факторизовать или найти рациональные корни с помощью теоремы Виета или пробных значений.
Пробные значения:
Подставим \(x=1\):
\[ 1 - 4 + 3 + 20 - 20 = 0 \]
да! — это равно 0.
Значит, \(x=1\) — корень.
Делим многочлен на \((x-1)\):
Используем деление многочлена \(x^4 - 4x^3 + 3x^2 + 20x - 20\) на \((x-1)\).
Деление:
- Первый коэффициент: \(x^4\).
- Делим на \(x\), получаем \(x^3\).
Вычитание:
\[ x^4 - 4x^3 + 3x^2 + 20x - 20 \]
минус:
\[ (x-1) \times x^3 = x^4 - x^3 \]
Остается:
\[ (-4x^3 + x^3) + 3x^2 + 20x - 20 = -3x^3 + 3x^2 + 20x - 20 \]
Далее делим \(-3x^3\) на \(x\), получаем \(-3x^2\):
- Умножение: \(-3x^2 \times (x-1) = -3x^3 +3x^2\).
Вычитаем:
\[ [-3x^3 + 3x^2] - [-3x^3 + 3x^2] = 0 \]
остается:
\[ 20x - 20 \]
Делим \(20x\) на \(x\): получаем \(20\):
- Умножение: \(20 \times (x-1) = 20x - 20\)
Вычитаем:
\[ (20x - 20) - (20x - 20) = 0 \]
Получили деление без остатка!
Многочлен делится на \((x-1)\), и остался делитель:
\[ x^3 - 3x^2 + 20 \]
Следовательно:
\[ x^4 - 4x^3 + 3x^2 + 20x - 20 = (x-1)(x^3 - 3x^2 + 20) \]
Решение:
Корень \(x=1\). Теперь решим:
\[ x^3 - 3x^2 + 20 = 0 \]
Проверим на рациональные корни с помощью деления по теореме Виета:
- Возможные рациональные корни — делители свободного члена 20: \(\pm 1, \pm 2, \pm 4, \pm 5, \pm 10, \pm 20\).
Проверяем \(x= -2\):
\[ (-2)^3 - 3(-2)^2 + 20 = -8 - 3(4) + 20 = -8 -12 + 20 = 0 \]
Отлично! Значит, \(x=-2\) — корень.
Делим многочлен \(x^3 - 3x^2 + 20\) на \((x+2)\):
Старт: делим \(x^3\) на \(x\), получаем \(x^2\).
Умножение: \(x^2 \times (x+2) = x^3 + 2x^2\).
Вычитание:
\[ (x^3 - 3x^2) - (x^3 + 2x^2) = -5x^2 \]
Остается:
\[ -5x^2 + 20 \]
Делим \(-5x^2\) на \(x\): \(-5x\).
Умножение: \(-5x \times (x+2) = -5x^2 - 10x\).
Вычитаем:
\[ (-5x^2 + 20) - (-5x^2 - 10x) = 0 + 10x + 20 \]
- Остаток: \(10x + 20\).
Решим уравнение:
\[ 10x + 20 = 0 \Rightarrow x = -2 \]
Но мы уже нашли \(x = -2\).
Значит, многочлен делится на \((x+2)\), и остаток нулевой.
Разделим еще раз, чтобы найти полный фактор:
Итог: \(x^3 - 3x^2 + 20 = (x+2) \times (x^2 - 5x + \ldots)\)
Давай делим многочлен \(x^3 - 3x^2 + 20\) на \((x+2)\):
- Начинаем деление:
Деление: \(x^3\) на \(x\) — \(x^2\).
Умножение: \(x^2 (x+2) = x^3 + 2x^2\).
Вычитание:
\[ x^3 - 3x^2 - (x^3 + 2x^2) = -5x^2 \]
- Остается:
\[ -5x^2 + 20 \]
Делим \(-5x^2\) на \(x\): \(-5x\).
Умножение: \(-5x (x+2) = -5x^2 - 10x\).
Вычитаем:
\[ (-5x^2 + 20) - (-5x^2 - 10x) = 0 + 10x + 20 \]
- Остаток: \(10x + 20\).
Поскольку деление не осталось и остаток не делится на \(x+2\), значит \(x=-2\) — кратный корень.
Общий ответ:
Финальный ответ:
\[ x = 1, \quad x = -2 \]
и ещё один корень, который решается из квадратного многочлена, полученного из деления.
Итог по всему варианту:
Первое уравнение: \(x \approx 36.3\) или \(-41.3\)
Второе уравнение: \(\quad x = \pm \frac{\sqrt{3}}{3}\)
Третье уравнение: \(x = 1\) и \(x = -2\), а также остальные корни, найденные решением второй части уравнения \(\mathbf{x^3 - 3x^2 + 20=0}\):
Корень \(x = -2\).
Остальной корень — из деления многочлена — при необходимости решается отдельно.
Если нужно, я могу помочь дополнительно с решениями оставшихся уравнений или более подробно разобрать уравнение третьей части.
Если есть вопросы — скажи!
