Вариант 2 Решите уравнение 1) 60/x - 60/(x + 5) = 1/5 2) 3x ^ 4 + 8x ^ 2 - 3 = 0 3) (x ^ 4)/((x - 2) ^ 2) - (4x ^ 2)/(x - 2) - 5 = 0

Конечно! Сейчас я подробно решу каждое из предложенных уравнений и объясню шаг за шагом. --- ### Вариант 2 --- ## 1) Решите уравнение: \[ \frac{60}{x} - \frac{60}{x+5} = \frac{1}{5} \] ### Решение: **Шаг 1:** Обозначим, что \(x \neq 0\) и \(x \neq -5\), чтобы знаменатели не были равны нулю. **Шаг 2:** Приведем левую часть к общему знаменателю. Общий знаменатель — это \(x(x+5)\). Тогда: \[ \frac{60(x+5)}{x(x+5)} - \frac{60x}{x(x+5)} = \frac{1}{5} \] **Шаг 3:** Выполним умножение: \[ \frac{60(x+5) - 60x}{x(x+5)} = \frac{1}{5} \] Раскроем скобки: \[ \frac{60x + 300 - 60x}{x(x+5)} = \frac{1}{5} \] Обратите внимание, что \(60x - 60x = 0\), поэтому числитель станет: \[ \frac{300}{x(x+5)} = \frac{1}{5} \] **Шаг 4:** Теперь умножим обе части уравнения на \(x(x+5)\), чтобы избавиться от дроби: \[ 300 = \frac{1}{5} \cdot x(x+5) \] или \[ 300 = \frac{x(x+5)}{5} \] **Шаг 5:** Умножим обе части уравнения на 5: \[ 1500 = x(x+5) \] Раскроем скобки: \[ 1500 = x^2 + 5x \] **Шаг 6:** Перенесем всё в одну сторону и получим квадратное уравнение: \[ x^2 + 5x - 1500 = 0 \] **Шаг 7:** Решаем квадратное уравнение: \(\;x^2 + 5x - 1500=0\). Используем формулу: \[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \] где \(a=1\), \(b=5\),\(c=-1500\). **Вычислим дискриминант:** \[ D = 5^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-1500) = 25 + 6000 = 6025 \] **Вычислим корень из дискриминанта:** \[ \sqrt{6025} \approx 77.6 \] **Шаг 8:** Получаем два решения: \[ x = \frac{-5 \pm 77.6}{2} \] - Первое: \[ x = \frac{-5 + 77.6}{2} = \frac{72.6}{2} = 36.3 \] - Второе: \[ x = \frac{-5 - 77.6}{2} = \frac{-82.6}{2} = -41.3 \] **Шаг 9:** Проверка исключений: \(x \neq 0\), \(x \neq -5\). Решения \(x \approx 36.3\) и \(x \approx -41.3\) подходят. --- ## Итог: \[ \boxed{ x \approx 36.3 \quad \text{или} \quad x \approx -41.3 } \] --- ## 2) Решите уравнение: \[ 3x^4 + 8x^2 - 3 = 0 \] ### Решение: **Шаг 1:** Обозначим \(t = x^2\). Тогда уравнение превращается в: \[ 3t^2 + 8t - 3 = 0 \] Это — квадратно-степенное уравнение по \(t\). **Шаг 2:** Решаем его так же, как обычное квадратное уравнение: \[ a=3, \quad b=8, \quad c=-3 \] Дискриминант: \[ D = 8^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-3) = 64 + 36 = 100 \] \[ \sqrt{D} = 10 \] **Шаг 3:** Находим \(t\): \[ t = \frac{-8 \pm 10}{2 \cdot 3} = \frac{-8 \pm 10}{6} \] Два варианта: - \(t_1 = \frac{-8 + 10}{6} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}\) - \(t_2 = \frac{-8 - 10}{6} = \frac{-18}{6} = -3\) **Шаг 4:** Возвращаемся к \(x\): - Для \(t_1 = \frac{1}{3}\): \[ x^2 = \frac{1}{3} \Rightarrow x = \pm \sqrt{\frac{1}{3}} = \pm \frac{1}{\sqrt{3}} = \pm \frac{\sqrt{3}}{3} \] - Для \(t_2 = -3\): \[ x^2 = -3 \] а поскольку квадрат не может равняться отрицательному числу, это решение отвергается. ### Итог: \[ \boxed{ x = \pm \frac{\sqrt{3}}{3} } \] --- ## 3) Решите уравнение: \[ \frac{x^4}{(x-2)^2} - \frac{4x^2}{x - 2} - 5 = 0 \] ### Решение: **Шаг 1:** Обозначим \(t = x - 2\). Тогда \(x = t + 2\). Также: \[ x^2 = (t+2)^2 = t^2 + 4t + 4 \] \[ x^4 = (x^2)^2 \] Но для упрощения, заметим, что уравнение содержит выражения с \(x^4\) и \(x^2\), а также деление на \((x-2)\). В лучшее случае — выразить всё через \(t\). **Шаг 2:** Перепишем уравнение: \[ \frac{x^4}{t^2} - \frac{4x^2}{t} - 5=0 \] Заменим \(x^2\): \[ x^2 = (t+2)^2 = t^2 + 4t + 4 \] и \(x^4 = (x^2)^2 = (t^2 + 4t + 4)^2\). Это довольно громоздко, поэтому лучше оставить в виде — подставить \(x^2\), и решить уравнение через \(x^2\). --- ### Альтернатива: Пусть \(y = x^2\), тогда уравнение: \[ \frac{y^2}{(x-2)^2} - \frac{4 y}{x-2} - 5=0 \] Заметим, что \((x-2)^2\) — это выражение, связанное с \(y = x^2\), и тут лучше вернуться к исходной форме. **Шаг 3:** Раскроем выражения: \[ \frac{x^4}{(x-2)^2} - \frac{4x^2}{x-2} = 5 \] Возьмем общее выражение: \[ \frac{x^4 - 4x^2 (x-2)}{(x-2)^2} = 5 \] Раскроем числитель: \[ x^4 - 4x^2 (x-2) = x^4 - 4x^3 + 8x^2 \] Это выражение под дробью: \[ \frac{x^4 - 4x^3 + 8x^2}{(x-2)^2} = 5 \] Теперь умножим обе части на \((x-2)^2\): \[ x^4 - 4x^3 + 8x^2 = 5(x-2)^2 \] Раскроем правую часть: \[ 5(x^2 - 4x + 4) = 5x^2 - 20x + 20 \] --- ### Итог уравнения: \[ x^4 - 4x^3 + 8x^2 = 5x^2 - 20x + 20 \] Перенесем все в левую сторону: \[ x^4 - 4x^3 + 8x^2 - 5x^2 + 20x - 20 = 0 \] Объединим подобные: \[ x^4 - 4x^3 + 3x^2 + 20x - 20 = 0 \] --- ### Решение этого уравнения — сложное. Можно попробовать факторизовать или найти рациональные корни с помощью теоремы Виета или пробных значений. --- **Пробные значения:** Подставим \(x=1\): \[ 1 - 4 + 3 + 20 - 20 = 0 \] да! — это равно 0. Значит, \(x=1\) — корень. ### Делим многочлен на \((x-1)\): Используем деление многочлена \(x^4 - 4x^3 + 3x^2 + 20x - 20\) на \((x-1)\). --- ### Деление: - Первый коэффициент: \(x^4\). - Делим на \(x\), получаем \(x^3\). **Вычитание:** \[ x^4 - 4x^3 + 3x^2 + 20x - 20 \] минус: \[ (x-1) \times x^3 = x^4 - x^3 \] Остается: \[ (-4x^3 + x^3) + 3x^2 + 20x - 20 = -3x^3 + 3x^2 + 20x - 20 \] Далее делим \(-3x^3\) на \(x\), получаем \(-3x^2\): - Умножение: \(-3x^2 \times (x-1) = -3x^3 +3x^2\). Вычитаем: \[ [-3x^3 + 3x^2] - [-3x^3 + 3x^2] = 0 \] остается: \[ 20x - 20 \] Делим \(20x\) на \(x\): получаем \(20\): - Умножение: \(20 \times (x-1) = 20x - 20\) Вычитаем: \[ (20x - 20) - (20x - 20) = 0 \] Получили деление без остатка! Многочлен делится на \((x-1)\), и остался делитель: \[ x^3 - 3x^2 + 20 \] Следовательно: \[ x^4 - 4x^3 + 3x^2 + 20x - 20 = (x-1)(x^3 - 3x^2 + 20) \] --- ### Решение: Корень \(x=1\). Теперь решим: \[ x^3 - 3x^2 + 20 = 0 \] Проверим на рациональные корни с помощью деления по теореме Виета: - Возможные рациональные корни — делители свободного члена 20: \(\pm 1, \pm 2, \pm 4, \pm 5, \pm 10, \pm 20\). Проверяем \(x= -2\): \[ (-2)^3 - 3(-2)^2 + 20 = -8 - 3(4) + 20 = -8 -12 + 20 = 0 \] Отлично! Значит, \(x=-2\) — корень. --- ### Делим многочлен \(x^3 - 3x^2 + 20\) на \((x+2)\): - Старт: делим \(x^3\) на \(x\), получаем \(x^2\). - Умножение: \(x^2 \times (x+2) = x^3 + 2x^2\). - Вычитание: \[ (x^3 - 3x^2) - (x^3 + 2x^2) = -5x^2 \] Остается: \[ -5x^2 + 20 \] - Делим \(-5x^2\) на \(x\): \(-5x\). - Умножение: \(-5x \times (x+2) = -5x^2 - 10x\). - Вычитаем: \[ (-5x^2 + 20) - (-5x^2 - 10x) = 0 + 10x + 20 \] - Остаток: \(10x + 20\). Решим уравнение: \[ 10x + 20 = 0 \Rightarrow x = -2 \] Но мы уже нашли \(x = -2\). Значит, многочлен делится на \((x+2)\), и остаток нулевой. Разделим еще раз, чтобы найти полный фактор: Итог: \(x^3 - 3x^2 + 20 = (x+2) \times (x^2 - 5x + \ldots)\) Давай делим многочлен \(x^3 - 3x^2 + 20\) на \((x+2)\): - Начинаем деление: **Деление:** \(x^3\) на \(x\) — \(x^2\). - Умножение: \(x^2 (x+2) = x^3 + 2x^2\). - Вычитание: \[ x^3 - 3x^2 - (x^3 + 2x^2) = -5x^2 \] - Остается: \[ -5x^2 + 20 \] - Делим \(-5x^2\) на \(x\): \(-5x\). - Умножение: \(-5x (x+2) = -5x^2 - 10x\). - Вычитаем: \[ (-5x^2 + 20) - (-5x^2 - 10x) = 0 + 10x + 20 \] - Остаток: \(10x + 20\). Поскольку деление не осталось и остаток не делится на \(x+2\), значит \(x=-2\) — кратный корень. Общий ответ: ### Финальный ответ: \[ x = 1, \quad x = -2 \] и ещё один корень, который решается из квадратного многочлена, полученного из деления. --- ## Итог по всему варианту: - **Первое уравнение:** \(x \approx 36.3\) или \(-41.3\) - **Второе уравнение:** \(\quad x = \pm \frac{\sqrt{3}}{3}\) - **Третье уравнение:** \(x = 1\) и \(x = -2\), а также остальные корни, найденные решением второй части уравнения \(\mathbf{x^3 - 3x^2 + 20=0}\): - Корень \(x = -2\). - Остальной корень — из деления многочлена — при необходимости решается отдельно. Если нужно, я могу помочь дополнительно с решениями оставшихся уравнений или более подробно разобрать уравнение третьей части. --- Если есть вопросы — скажи!