Найти производную
Конечно! Сейчас я помогу найти производные для всех данных функций. Объясню каждый случай по шагам.
1. \( y = 2 \)
Постоянная функция.
Производная константы равна 0.
Ответ: \( y' = 0 \).
2. \( y = -\frac{2}{3} \)
Также постоянная.
Ответ: \( y' = 0 \).
3. \( y = 2x \)
Линейная функция, производная которой равна коэффициенту при \( x \).
Ответ: \( y' = 2 \).
4. \( y = 2x - 3 \)
Аналогично предыдущему: производная — это коэффициент при \( x \).
Ответ: \( y' = 2 \).
5. \( y = \frac{3x}{x} \)
Можно упростить: \( y = 3 \) (поскольку \( x/x = 1 \), при \( x \neq 0 \)).
Производная постоянной равна 0.
Ответ: \( y' = 0 \).
6. \( y = x^2 \)
Используем степенное правило: \( \frac{d}{dx} x^n = n x^{n-1} \).
Ответ: \( y' = 2x \).
7. \( y = x^3 \)
Также по степенному правилу.
Ответ: \( y' = 3x^2 \).
8. \( y = \frac{3}{x^2} \)
Перепишем как \( y = 3x^{-2} \).
Производная: \( y' = 3 \cdot (-2) x^{-3} = -6 x^{-3} \).
Можно оставить в виде \( -\frac{6}{x^3} \).
Ответ: \( y' = -\frac{6}{x^3} \).
9. \( y = \frac{2}{3\sqrt{x}} \)
Перепишем: \( y = \frac{2}{3} x^{-\frac{1}{2}} \).
Производная: \( y' = \frac{2}{3} \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) x^{-\frac{3}{2}} = -\frac{1}{3} x^{-\frac{3}{2}} \).
Можно оставить как: \(-\frac{1}{3} \frac{1}{x^{\frac{3}{2}}}\).
Ответ: \( y' = -\frac{1}{3x^{3/2}} \).
10. \( y = \frac{4}{x^3} \)
Перепишем: \( y = 4x^{-3} \).
Производная: \( y' = 4 \cdot (-3) x^{-4} = -12 x^{-4} \).
Ответ: \( y' = -\frac{12}{x^4} \).
11. \( y = \frac{5}{\sqrt{x}} \)
Перепишем: \( y = 5 x^{-\frac{1}{2}} \).
Производная: \( y' = 5 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) x^{-\frac{3}{2}} = -\frac{5}{2} x^{-\frac{3}{2}} \).
Можно оставить так или в виде: \(-\frac{5}{2 x^{3/2}}\).
Ответ: \( y' = -\frac{5}{2 x^{3/2}} \).
12. \( y = 3x^4 + 5x^5 - 2x^2 + 4x - 6 \)
Производная каждого слагаемого:
- \( 3x^4 \rightarrow 12x^3 \)
- \( 5x^5 \rightarrow 25x^4 \)
- \( -2x^2 \rightarrow -4x \)
- \( 4x \rightarrow 4 \)
- \( -6 \rightarrow 0 \)
Общий ответ: \( y' = 12x^3 + 25x^4 - 4x + 4 \).
13. \( y = 2\sin x - 3\cos x + y + \tan x - 5 \)
Здесь есть, видимо, опечатка, так как \( y \) и слева и справа. Предположу, что это \( y = 2 \sin x - 3 \cos x + \tan x - 5 \).
Производная:
- \( 2 \sin x \rightarrow 2 \cos x \)
- \( -3 \cos x \rightarrow 3 \sin x \)
- \( \tan x \rightarrow \sec^2 x \)
- \( -5 \rightarrow 0 \)
Общий ответ: \( y' = 2 \cos x + 3 \sin x + \sec^2 x \).
14. \( y = 3x^{-\frac{3}{2}} + 3x^5 - 2x^4 + x - 6 \)
Производим:
- \( 3x^{-\frac{3}{2}} \rightarrow 3 \cdot \left(-\frac{3}{2}\right) x^{-\frac{5}{2}} = -\frac{9}{2} x^{-\frac{5}{2}} \)
- \( 3x^5 \rightarrow 15x^4 \)
- \( -2x^4 \rightarrow -8x^3 \)
- \( x \rightarrow 1 \)
- \( -6 \rightarrow 0 \)
Общий ответ: \( y' = -\frac{9}{2} x^{-\frac{5}{2}} + 15x^4 - 8x^3 + 1 \).
15. \( y = 2 \sin x - 3 \cos x + y + \tan x - 5 \)
Опять, предположительно, функция: \( y = 2 \sin x - 3 \cos x + \tan x - 5 \).
Производная:
- \( 2 \sin x \rightarrow 2 \cos x \)
- \( -3 \cos x \rightarrow 3 \sin x \)
- \( \tan x \rightarrow \sec^2 x \)
- \( -5 \rightarrow 0 \)
Ответ: \( y' = 2 \cos x + 3 \sin x + \sec^2 x \)
16. \( y = 3x^{-\frac{1}{3}} + \log_3 x \)
Производим:
- \( 3x^{-\frac{1}{3}} \rightarrow 3 \cdot \left(-\frac{1}{3}\right) x^{-\frac{4}{3}} = - x^{-\frac{4}{3}} \)
- \( \log_3 x = \frac{\ln x}{\ln 3} \), производная: \( \frac{1}{x \ln 3} \)
Итого:
\( y' = - x^{-\frac{4}{3}} + \frac{1}{x \ln 3} \)
17. \( y = (3x - 4)(5 - x) \)
Раскроем скобки и дифференцируем:
\( y = 15x - 3x^2 - 20 + 4x \).
Объединим: \( y = (15x + 4x) - 3x^2 - 20 = 19x - 3x^2 - 20 \).
Производная: \( 19 - 6x \).
Ответ: \( y' = 19 - 6x \).
18. \( y = e^{x} + 2^{x} \)
- \( e^{x} \rightarrow e^{x} \)
- \( 2^{x} = e^{x \ln 2} \rightarrow e^{x \ln 2} \rightarrow \ln 2 \cdot 2^{x} \)
Итак, ответ: \( y' = e^{x} + \ln 2 \cdot 2^{x} \).
Если нужно, я могу помочь подробнее или с любой конкретной функцией!
