Образующая конуса составляет с плоскостью основания угол 45°, высота конуса равна 3√2 см. Найдите площадь полной поверхности конуса.

Давайте решим задачу по шагам. Нас просят найти площадь полной поверхности конуса, исходя из данных: образующая конуса составляет с плоскостью основания угол 45°, высота конуса равна \( 3\sqrt{2} \) см. --- ### Шаг 1: Обозначения и записанные данные - Высота конуса: \( h = 3\sqrt{2} \) см - Угол между образующей и плоскостью основания: \( \alpha = 45^\circ \) Образующая конуса — это линия, соединяющая вершину с любой точкой на окружности основания. --- ### Шаг 2: Взаимосвязь между высотой, образующей и радиусом Обозначим: - \( R \) — радиус основания конуса - \( l \) — образующая конуса Из условия, что угол между образующей и плоскостью основания равен 45°, следует, что: \[ \cos 45^\circ = \frac{\text{прилежащий катет}}{\textогает гипотенузе} = \frac{h}{l} \] Также, для другого катета (расстояния от центра основания до точки на окружности), существует: \[ \sin 45^\circ = \frac{R}{l} \] --- ### Шаг 3: Выразим \( l \) из первого уравнения \[ l = \frac{h}{\cos 45^\circ} \] Так как \( \cos 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2} \): \[ l = \frac{3\sqrt{2}}{\sqrt{2}/2} = 3\sqrt{2} \times \frac{2}{\sqrt{2}} = 3 \times 2 = 6 \text{ см} \] --- ### Шаг 4: Найдём радиус \( R \) Из второго уравнения: \[ R = l \sin 45^\circ \] Так как \( \sin 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2} \): \[ R = 6 \times \frac{\sqrt{2}}{2} = 3 \sqrt{2} \] --- ### Шаг 5: Вычислим площадь полной поверхности конуса Площадь полной поверхности включает: - площадь боковой поверхности: \( S_{бок} \) - площадь основания: \( S_{осн} \) Формулы: \[ S_{осн} = \pi R^2 \] \[ S_{бок} = \pi R l \] Подставим значения: \[ S_{осн} = \pi (3 \sqrt{2})^2 = \pi \times 9 \times 2 = 18\pi \] \[ S_{бок} = \pi \times 3 \sqrt{2} \times 6 = \pi \times 3 \sqrt{2} \times 6 \] Упростим: \[ S_{бок} = \pi \times 3 \times 6 \times \sqrt{2} = 18 \pi \sqrt{2} \] --- ### **Ответ:** \[ \boxed{ \text{Площадь полной поверхности} = S_{пол} = S_{осн} + S_{бок} = 18\pi + 18 \pi \sqrt{2} } \] Или, более кратко: \[ \boxed{ S_{пол} = 18 \pi (1 + \sqrt{2}) } \] --- Если нужны дополнительные пояснения или перевод в другие единицы, скажите!