Найти седьмой член и сумму первых семи чисел геометрической прогрессии, если в1-32, q=-2.

Давайте разберём задачу шаг за шагом.

Дана:

• Первый член прогрессии: \( a_1 = 32 \)
• Общий множитель (знаменатель геометрической прогрессии): \( q = -2 \)

1. Найдём седьмой член прогрессии \( a_7 \)

Формула для n-го члена геометрической прогрессии: \[ a_n = a_1 \cdot q^{n-1} \]

Подставляя значения: \[ a_7 = 32 \cdot (-2)^{6} \]

Обращаем внимание, что показатель степень 6 — чётный, значит: \[ (-2)^6 = (-2) \times (-2) \times (-2) \times (-2) \times (-2) \times (-2) = 64 \]

Поэтому: \[ a_7 = 32 \times 64 = 2048 \]

2. Найдём сумму первых 7 членов \( S_7 \)

Формула суммы первых n членов геометрической прогрессии: \[ S_n = a_1 \frac{q^n - 1}{q - 1} \]

Подставляем: \[ S_7 = 32 \times \frac{(-2)^7 - 1}{-2 - 1} \]

считаем числитель: \[ (-2)^7 = -128 \] поэтому: \[ S_7 = 32 \times \frac{-128 - 1}{-3} = 32 \times \frac{-129}{-3} \]

Так как делим на \(-3\): \[ \frac{-129}{-3} = 43 \]

Итак: \[ S_7 = 32 \times 43 = 1376 \]

Ответ:

• Седьмой член прогрессии: \( \boxed{2048} \)
• Сумма первых 7 членов: \( \boxed{1376} \)

Если есть вопросы — спрашивайте!