В равнобедренном трецгольнике ABC с основанием AB угол С в 2 раза меньше угла А. Найдите величину внешнего угла при вершине B
Давайте подробно разберём задачу и найдём ответ.
Дано:
- В равнобедренном треугольнике \( ABC \), где \( AB = AC \),
- Угол \( C \) в 2 раза меньше угла \( A \), то есть \( \angle C = \frac{1}{2} \angle A \).
Нужно найти: величину внешнего угла при вершине \( B \).
Шаг 1: Обозначим углы
Обозначим угол при вершине \( A \) через \( \alpha \).
Тогда, по условию:
\[
\angle C = \frac{1}{2} \alpha
\]
Обозначим угол при вершине \( C \) как \( \beta \), то есть:
\[
\angle C = \beta = \frac{1}{2} \alpha
\]
Поскольку треугольник \( ABC \) равнобедренный с основаниями \( AB \) и \( AC \), то:
\[
AB = AC \implies \text{углы при вершинах } B \text{ и } C \text{ равны } \angle B \text{ и } \angle C,
\]
но так как основание — \( AB \), равенство сторон говорит, что:
\[
\angle B = \angle C = \frac{1}{2} \alpha
\]
Важно: В равнобедренном треугольнике, где равны боковые стороны, углы при основании равны. В нашем случае, так как \( AB = AC \), то:
\[
\angle B = \angle C
\]
Но в условиях сказано, что \( \angle C \) в два раза меньше \( \angle A \).
Это означает, что:
\[
\angle B = \angle C = \frac{1}{2} \angle A
\]
Обозначим угол при вершине \( A \) как \( \alpha \), а при \( B \) и \( C \) — как \( \frac{\alpha}{2} \).
Шаг 2: Запишем сумму углов треугольника
Сумма углов треугольника равна 180°:
\[
\angle A + \angle B + \angle C = 180^\circ
\]
Подставим:
\[
\alpha + \frac{\alpha}{2} + \frac{\alpha}{2} = 180^\circ
\]
Сложим:
\[
\alpha + \frac{\alpha}{2} + \frac{\alpha}{2} = \alpha + \alpha = 2\alpha
\]
Поэтому:
\[
2\alpha = 180^\circ \implies \alpha = 90^\circ
\]
Шаг 3: Найдём все углы
- \( \angle A = 90^\circ \),
- \( \angle B = \angle C = \frac{\alpha}{2} = \frac{90^\circ}{2} = 45^\circ \).
Проверим сумму:
\[
90^\circ + 45^\circ + 45^\circ = 180^\circ \quad \text{(подтверждение)}.
\]
Шаг 4: Найдём внешний угол при вершине \( B \)
Внешний угол при вершине — это равен сумме двух внутренних углов, не соседних с ним, или можно использовать формулу:
\[
\text{Внешний угол} = 180^\circ - \text{внутренний угол}
\]
Внутренний угол при \( B \): \( \angle B = 45^\circ \).
Внешний угол при \( B \):
\[
\angle_{\text{внешний}} = 180^\circ - 45^\circ = 135^\circ
\]
Ответ:
Величина внешнего угла при вершине \( B \) равна \( \boxed{135^\circ} \).
