В равнобедренном трецгольнике ABC с основанием AB угол С в 2 раза меньше угла А. Найдите величину внешнего угла при вершине B

Давайте подробно разберём задачу и найдём ответ. **Дано:** - В равнобедренном треугольнике \( ABC \), где \( AB = AC \), - Угол \( C \) в 2 раза меньше угла \( A \), то есть \( \angle C = \frac{1}{2} \angle A \). **Нужно найти:** величину внешнего угла при вершине \( B \). --- ### Шаг 1: Обозначим углы Обозначим угол при вершине \( A \) через \( \alpha \). Тогда, по условию: \[ \angle C = \frac{1}{2} \alpha \] Обозначим угол при вершине \( C \) как \( \beta \), то есть: \[ \angle C = \beta = \frac{1}{2} \alpha \] Поскольку треугольник \( ABC \) равнобедренный с основаниями \( AB \) и \( AC \), то: \[ AB = AC \implies \text{углы при вершинах } B \text{ и } C \text{ равны } \angle B \text{ и } \angle C, \] но так как основание — \( AB \), равенство сторон говорит, что: \[ \angle B = \angle C = \frac{1}{2} \alpha \] **Важно:** В равнобедренном треугольнике, где равны боковые стороны, углы при основании равны. В нашем случае, так как \( AB = AC \), то: \[ \angle B = \angle C \] Но в условиях сказано, что \( \angle C \) в два раза меньше \( \angle A \). Это означает, что: \[ \angle B = \angle C = \frac{1}{2} \angle A \] Обозначим угол при вершине \( A \) как \( \alpha \), а при \( B \) и \( C \) — как \( \frac{\alpha}{2} \). --- ### Шаг 2: Запишем сумму углов треугольника Сумма углов треугольника равна 180°: \[ \angle A + \angle B + \angle C = 180^\circ \] Подставим: \[ \alpha + \frac{\alpha}{2} + \frac{\alpha}{2} = 180^\circ \] Сложим: \[ \alpha + \frac{\alpha}{2} + \frac{\alpha}{2} = \alpha + \alpha = 2\alpha \] Поэтому: \[ 2\alpha = 180^\circ \implies \alpha = 90^\circ \] --- ### Шаг 3: Найдём все углы - \( \angle A = 90^\circ \), - \( \angle B = \angle C = \frac{\alpha}{2} = \frac{90^\circ}{2} = 45^\circ \). Проверим сумму: \[ 90^\circ + 45^\circ + 45^\circ = 180^\circ \quad \text{(подтверждение)}. \] --- ### Шаг 4: Найдём внешний угол при вершине \( B \) Внешний угол при вершине — это равен сумме двух внутренних углов, не соседних с ним, или можно использовать формулу: \[ \text{Внешний угол} = 180^\circ - \text{внутренний угол} \] Внутренний угол при \( B \): \( \angle B = 45^\circ \). Внешний угол при \( B \): \[ \angle_{\text{внешний}} = 180^\circ - 45^\circ = 135^\circ \] --- ### **Ответ:** **Величина внешнего угла при вершине \( B \) равна \( \boxed{135^\circ} \).**