Постройте график функции и перечислите ее свойства: а) у = 3/х; б) у = -4/х.

Конечно! Давайте подробно разберем два задания и построим графики функций, а также перечислим их свойства. Так как цель — "Понять", я постараюсь объяснить максимально понятно и подробно. --- ## а) функция у = 3/х ### Шаг 1: Общий вид функции Это гипербола — дробная функция. Она определена для всех x, кроме x=0, так как деление на ноль невозможно. ### Шаг 2: Анализ асимптот (линий, к которым стремится график) - **Вертикальная асимптота:** x=0, так как при x→0 значение у стремится к бесконечности или минус бесконечности. - **Горизонтальная асимптота:** y=0, потому что при очень больших по абсолютной величине x, у→0. ### Шаг 3: Нулевые точки - Уравнение у=0 при 3/х=0, что невозможно (деление на ноль), поэтому у функции нет точек пересечения с осью х. ### Шаг 4: Общие свойства - **Область определения:** все числа, кроме 0 (x ≠ 0). - **Область значений:** все числа, кроме 0 (у ≠ 0). - **Ассимптоты:** x=0 и y=0. - **Поведение на бесконечности:** - при x→+∞, у→0, график приближается к горизонтальной асимптоте y=0, сходит с нуля сверху. - при x→-∞, у→0, график приближается к горизонтальной асимптоте y=0, сходит с нуля снизу. ### Шаг 5: Построение графика - Возьмем несколько точек: - x=1, у=3/1=3 - x=2, у=3/2=1.5 - x=3, у=1 - x=0.5, у=6 - x=-1, у=-3 - x=-2, у=-1.5 - x=-0.5, у=-6 - График располагается в двух ветвях, одна в первой четверти (на положительных x и y), другая в третьей (отрицательные x и y). --- ## б) функция у = -4/х ### Шаг 1: Общий вид функции Та же гипербола, только с отрицательным коэффициентом. ### Шаг 2: Анализ асимптот - **Вертикальная асимптота:** x=0. - **Горизонтальная асимптота:** y=0. ### Шаг 3: Нулевые точки - Уравнение у=0 не выполнится, так как дробь равна нулю, только если числитель равен нулю. Но тут числитель -4, постоянное число, его нельзя сделать равным нулю, значит точек пересечения с осью х нет. ### Шаг 4: Свойства - **Область определения:** все x ≠ 0. - **Область значений:** все y ≠ 0. - График симметричен относительно начала координат (функция "зеркальная" по отношению к функции у=3/х, только с минусом). - Поведение при x→+∞: у→0, график приближается к оси x снизу. - При x→-∞: у→0, график приближается к оси x сверху. ### Шаг 5: Построение графика - Возьмем несколько точек: - x=1, у=-4/1=-4 - x=2, у=-2 - x=4, у=-1 - x=-1, у=4 - x=-2, у=2 - x=-0.5, у=-8 - График находится в двух ветвях: одна в первой четверти (для отрицателных x), другая в третьей (для положительных x). --- ## Итоговые свойства функций: | Свойство | у=3/х | у=-4/х | |------------------------------|-----------------------------------|-----------------------------------| | Область определения | x≠0 | x≠0 | | Область значений | y≠0 | y≠0 | | Асимптоты | вертикальная: x=0, горизонтальная: y=0 | вертикальная: x=0, горизонтальная: y=0 | | Пересечения с осями | нет | нет | | Поведение при x→±∞ | y→0 | y→0 | | Симметрии | относительно начала координат (по осям) | относительно начала координат | --- Если нужно, я могу помочь построить графики, объяснить подробнее или разобрать подобные задачи!