Рассмотрим задачу: у нас есть правильный треугольник, высота которого равна 6 см. Нужно найти радиус описанной окружности этого треугольника.
Шаг 1: Свойства правильного треугольника
В правильном треугольнике все стороны равны, и все углы по 60°. Высота, проведённая из любой вершины, делит противолежащий угол пополам и является отрезком, соединяющим вершину с серединой противоположной стороны.
Шаг 2: Связь высоты и стороны треугольника
Обозначим сторону правильного треугольника как (a).
Высота (h) в правильном треугольнике связана со стороной по формуле:
[
h = \frac{\sqrt{3}}{2} \times a
]
Из этого выражения выразим сторону (a):
[
a = \frac{2h}{\sqrt{3}}
]
Подставим (h = 6,\text{см}):
[
a = \frac{2 \times 6}{\sqrt{3}} = \frac{12}{\sqrt{3}}
]
Рассчитаем (a):
[
a = \frac{12}{\sqrt{3}} \times \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = \frac{12 \sqrt{3}}{3} = 4 \sqrt{3}, \text{см}
]
Шаг 3: Радиус описанной окружности
Радиус описанной окружности (R) для правильного треугольника связан со стороной по формуле:
[
R = \frac{a}{\sqrt{3}}
]
Подставим найденное значение (a = 4 \sqrt{3}):
[
R = \frac{4 \sqrt{3}}{\sqrt{3}} = 4, \text{см}
]
Итог:
Радиус описанной окружности правильного треугольника равен 4 см.
Если есть вопросы или нужно более подробное объяснение — обращайся!
