Дан правильный треугольник, высота которого равна 6 см. Найдите радиус описанной окружности треугольника

Рассмотрим задачу: у нас есть правильный треугольник, высота которого равна 6 см. Нужно найти радиус описанной окружности этого треугольника.

Шаг 1: Свойства правильного треугольника

В правильном треугольнике все стороны равны, и все углы по 60°. Высота, проведённая из любой вершины, делит противолежащий угол пополам и является отрезком, соединяющим вершину с серединой противоположной стороны.

Шаг 2: Связь высоты и стороны треугольника

Обозначим сторону правильного треугольника как \(a\).

Высота \(h\) в правильном треугольнике связана со стороной по формуле: \[ h = \frac{\sqrt{3}}{2} \times a \]

Из этого выражения выразим сторону \(a\): \[ a = \frac{2h}{\sqrt{3}} \]

Подставим \(h = 6\,\text{см}\): \[ a = \frac{2 \times 6}{\sqrt{3}} = \frac{12}{\sqrt{3}} \]

Рассчитаем \(a\): \[ a = \frac{12}{\sqrt{3}} \times \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = \frac{12 \sqrt{3}}{3} = 4 \sqrt{3}\, \text{см} \]

Шаг 3: Радиус описанной окружности

Радиус описанной окружности \(R\) для правильного треугольника связан со стороной по формуле: \[ R = \frac{a}{\sqrt{3}} \]

Подставим найденное значение \(a = 4 \sqrt{3}\): \[ R = \frac{4 \sqrt{3}}{\sqrt{3}} = 4\, \text{см} \]

Итог:

Радиус описанной окружности правильного треугольника равен 4 см.

Если есть вопросы или нужно более подробное объяснение — обращайся!