Найдите уравнение кривой, проходящей через точку (0; 2), тангенс угла наклона которой во всякой точке равен 1 3у2 1. х = у3 - 2 2. х = у2 – 8 3. х = 3у3 + 8 4. х = у3 - 8

Давайте разберемся с этой задачей пошагово.

Постановка задачи:
Нам нужно найти уравнение кривой, которая проходит через точку (0, 2), и у которой тангенс угла наклона в любой точке равен \( \frac{1}{3y^2} \).

Шаг 1: Запишем условие для тангенса угла наклона

Тангенс угла наклона кривой в точке — это значение производной функции в этой точке: \[ \frac{dy}{dx} = \frac{1}{3y^2} \]

Это дифференциальное уравнение.

Шаг 2: Выделим переменные

Поскольку уравнение содержит \( y \) и \( x \), разделим переменные: \[ dy = \frac{1}{3 y^2} dx \] или \[ 3 y^2 dy = dx \]

Шаг 3: Проинтегрируем обе части

Интегрируем левую часть по \( y \), правую — по \( x \):

\[ \int 3 y^2 dy = \int dx \]

Левое интегрирование: \[ 3 \int y^2 dy = 3 \cdot \frac{y^3}{3} = y^3 \]

Правое: \[ x + C \]

Получаем уравнение: \[ x + C = y^3 \]

Или: \[ x = y^3 + C \]

Шаг 4: Используем условие прохождения через точку (0; 2)

Подставим \( x=0 \), \( y=2 \):

\[ 0 = (2)^3 + C \Rightarrow 0 = 8 + C \Rightarrow C = -8 \]

Итак, уравнение кривой:

\[ x = y^3 - 8 \]

или в другом виде:

\[ x = y^3 - 8 \]

Ответ:

вариант 4: \( x = y^3 - 8 \).

Если нужно — я могу повторно объяснить или проверить решения.