Давайте разберемся с этой задачей пошагово.
Постановка задачи:
Нам нужно найти уравнение кривой, которая проходит через точку (0, 2), и у которой тангенс угла наклона в любой точке равен ( \frac{1}{3y^2} ).
Шаг 1: Запишем условие для тангенса угла наклона
Тангенс угла наклона кривой в точке — это значение производной функции в этой точке:
[
\frac{dy}{dx} = \frac{1}{3y^2}
]
Это дифференциальное уравнение.
Шаг 2: Выделим переменные
Поскольку уравнение содержит ( y ) и ( x ), разделим переменные:
[
dy = \frac{1}{3 y^2} dx
]
или
[
3 y^2 dy = dx
]
Шаг 3: Проинтегрируем обе части
Интегрируем левую часть по ( y ), правую — по ( x ):
[
\int 3 y^2 dy = \int dx
]
Левое интегрирование:
[
3 \int y^2 dy = 3 \cdot \frac{y^3}{3} = y^3
]
Правое:
[
x + C
]
Получаем уравнение:
[
x + C = y^3
]
Или:
[
x = y^3 + C
]
Шаг 4: Используем условие прохождения через точку (0; 2)
Подставим ( x=0 ), ( y=2 ):
[
0 = (2)^3 + C \Rightarrow 0 = 8 + C \Rightarrow C = -8
]
Итак, уравнение кривой:
[
x = y^3 - 8
]
или в другом виде:
[
x = y^3 - 8
]
Ответ:
вариант 4: ( x = y^3 - 8 ).
Если нужно — я могу повторно объяснить или проверить решения.
