Вычислите значение выражения \left(6\frac{1}{4}-\frac{5}{6}\right)\div \frac{5}{8}. Ответ представьте в виде смешанного числа, дробная часть которого — несократимая дробь.

Давайте решим выражение \(\left(6\frac{1}{4} - \frac{5}{6}\right) \div \frac{5}{8}\) пошагово и подробно объясним все действия.

Шаг 1: Преобразуем смешанное число \(6\frac{1}{4}\) в неправильную дробь

Между числом и дробной частью стоит знак сложения, поэтому сначала запишем \(6\frac{1}{4}\) как неправильную дробь.

• Целая часть — 6
• Дробная часть — \(\frac{1}{4}\)

Чтобы преобразовать смешанное число в неправильную дробь, используем формулу:

\[ \text{целое} \times \text{знаменатель} + \text{числитель} \quad / \quad \text{знаменатель} \]

Для \(6\frac{1}{4}\):

\[ 6 \times 4 + 1 = 24 + 1 = 25 \]

Значит:

\[ 6\frac{1}{4} = \frac{25}{4} \]

Шаг 2: Выполняем вычитание \(\frac{25}{4} - \frac{5}{6}\)

Нам нужны одинаковые знаменатели, чтобы вычесть дроби.

Находим НОК (наименьшее общее кратное) для 4 и 6:

• множители 4: \(2^2\)
• множители 6: \(2 \times 3\)

Наименьшее общее кратное — \(2^2 \times 3 = 4 \times 3 = 12\).

Теперь приводим обе дроби к знаменателю 12:

\[ \frac{25}{4} = \frac{25 \times 3}{4 \times 3} = \frac{75}{12} \] \[ \frac{5}{6} = \frac{5 \times 2}{6 \times 2} = \frac{10}{12} \]

Вычитаем:

\[ \frac{75}{12} - \frac{10}{12} = \frac{75 - 10}{12} = \frac{65}{12} \]

Шаг 3: Деление полученной дроби на \(\frac{5}{8}\)

Деление дробей — это умножение на обратную:

\[ \frac{65}{12} \div \frac{5}{8} = \frac{65}{12} \times \frac{8}{5} \]

Перемножаем числители и знаменатели:

\[ \frac{65 \times 8}{12 \times 5} \]

Вычислим числитель и знаменатель:

• \(65 \times 8 = 520\)
• \(12 \times 5 = 60\)

Итак, получаем:

\[ \frac{520}{60} \]

Шаг 4: Упрощение дроби \(\frac{520}{60}\)

Находим НОД (наибольший общий делитель) чисел 520 и 60:

• Делим 520 и 60 на 20:

\[ 520 \div 20 = 26,\quad 60 \div 20 = 3 \]

Значит, дробь упрощается до:

\[ \frac{26}{3} \]

Шаг 5: Преобразуем неправильную дробь в смешанное число

Делим числитель на знаменатель:

\[ 26 \div 3 = 8 \text{ целых} \quad \text{и остаток } 2 \]

Итак,

\[ \frac{26}{3} = 8 \frac{2}{3} \]

Дробная часть \(\frac{2}{3}\) уже несократима.

Итог:

Ответ — \(\boxed{8 \frac{2}{3}}\)

Это — искомое значение выражения в виде смешанного числа, дробь — несократимая.