Задан цилиндр, высота которого равна 7 см, а площадь осевого сечения – 84 см2. В цилиндр вписана треугольная призма. Основание призмы – прямоугольный треугольник с разностью…

Давайте последовательно разберем задачу и найдем искомую площадь полной поверхности призмы.

---

Дано:

• Высота цилиндра \( h = 7\, \text{см} \)
• Площадь осевого сечения цилиндра (площадь поперечного сечения) — площадь боковой поверхности в разрезе вдоль оси, равно 84 см².
• Внутри цилиндра вписана прямоугольная треугольная призма.
• Основание призмы — прямоугольный треугольник, разность катетов равна 7 см.

---

Шаг 1. Определим радиус основания цилиндра

Площадь осевого сечения цилиндра — это площадь поперечного сечения равна \(\pi r^2\).

Площадь сечения:
\[ \pi r^2 = 84\, \text{см}^2 \] \[ r^2 = \frac{84}{\pi} \] \[ r = \sqrt{\frac{84}{\pi}} \]

---

Шаг 2. Определим параметры треугольной призмы

Форма основания призмы — прямоугольный треугольник.
Обозначим катеты как \(a\) и \(b\).

Дано:
\[ |a - b| = 7 \]

Поскольку призма вписана в цилиндр, основание треугольника — это прямоугольный треугольник, в который вписан круг радиуса \(r\).
Радиус вписанного круга для прямоугольного треугольника:
\[ r = \frac{a + b - c}{2} \]

Где \(c\) — гипотенуза треугольника.

Знаем, что радиус вписанного круга равен радиусу основания цилиндра — \(r\):

\[ r = \frac{a + b - c}{2} \]

Но поскольку \(a\) и \(b\) — катеты, а \(c = \sqrt{a^2 + b^2}\).

Подставляем:
\[ r = \frac{a + b - \sqrt{a^2 + b^2}}{2} \] Можем выразить через \(a\) и \(b\), используя \(a = b + 7\):

\[ r = \frac{b + 7 + b - \sqrt{(b + 7)^2 + b^2}}{2} \] \[ = \frac{2b + 7 - \sqrt{b^2 + 14b + 49 + b^2}}{2} \] \[ = \frac{2b + 7 - \sqrt{2b^2 + 14b + 49}}{2} \]

---

Шаг 3. Решим уравнение для \(b\)

Поскольку \(r = \sqrt{\frac{84}{\pi}}\), можем приравнять и решить для \(b\):

\[ \sqrt{\frac{84}{\pi}} = \frac{2b + 7 - \sqrt{2b^2 + 14b + 49}}{2} \]

Для удобства обозначим:
\[ R = \sqrt{\frac{84}{\pi}} \]

Тогда уравнение:

\[ 2 R = 2b + 7 - \sqrt{2b^2 + 14b + 49} \]

Выразим \(\sqrt{2b^2 + 14b + 49}\):

\[ \sqrt{2b^2 + 14b + 49} = 2b + 7 - 2 R \]

Квадрат обеих частей:

\[ 2b^2 + 14b + 49 = (2b + 7 - 2 R)^2 \]

Раскроем правую часть:

\[ (2b + 7 - 2 R)^2 = (2b)^2 + 2 \cdot 2b \cdot (7 - 2 R) + (7 - 2 R)^2 \] \[ = 4b^2 + 4b (7 - 2 R) + (7 - 2 R)^2 \] \[ = 4b^2 + 28b - 8b R + (7 - 2 R)^2 \]

Теперь приравниваем:

\[ 2b^2 + 14b + 49 = 4b^2 + 28b - 8b R + (7 - 2 R)^2 \]

Переносим все в левую сторону:

\[ 0 = 4b^2 + 28b - 8b R + (7 - 2 R)^2 - 2b^2 - 14b - 49 \]

Упрощаем:

\[ 0 = (4b^2 - 2b^2) + (28b - 14b) - 8b R + (7 - 2 R)^2 - 49 \] \[ 0 = 2b^2 + 14b - 8b R + (7 - 2 R)^2 - 49 \]

Отметим, что \( R = \sqrt{\frac{84}{\pi}} \), это конкретное число, поэтому для дальнейших расчетов можно взять приближення, чтобы получить числовое значение.

---

Шаг 4: Вычислим радиус \(r\)

Числовое приближение:

\[ \pi \approx 3.1416 \] \[ r = \sqrt{\frac{84}{3.1416}} \approx \sqrt{26.75} \approx 5.17\, \text{см} \]

Теперь:

\[ r \approx 5.17 \]

И по формуле радиуса вписанного круга:

\[ r = \frac{a + b - c}{2} \]

понимая, что \(a = b + 7\):

\[ 2r = a + b - c \]

Заметим:

Для треугольника с катетами \(a, b\) и гипотенузой \(c\):

\[ c = \sqrt{a^2 + b^2} \]

Подставим \(a = b + 7\):

\[ c = \sqrt{(b + 7)^2 + b^2} = \sqrt{b^2 + 14b + 49 + b^2} = \sqrt{2b^2 + 14b + 49} \]

Тогда:

\[ 2r = a + b - c = (b + 7) + b - \sqrt{2b^2 + 14b + 49} = 2b + 7 - c \]

Отсюда:

\[ c = 2b + 7 - 2r \]

Подставим числовое значение \(r \approx 5.17\):

\[ c \approx 2b + 7 - 2 \times 5.17 = 2b + 7 - 10.34 = 2b - 3.34 \]

Также, по определению, \(c = \sqrt{2b^2 + 14b + 49}\):

\[ \sqrt{2b^2 + 14b + 49} \approx 2b - 3.34 \]

Возводим обе части в квадрат:

\[ 2b^2 + 14b + 49 \approx (2b - 3.34)^2 = 4b^2 - 2 \times 2b \times 3.34 + 3.34^2 = 4b^2 - 13.36b + 11.16 \]

Теперь приравниваем левую и правую части (здесь пример с приближением):

\[ 2b^2 + 14b + 49 \approx 4b^2 - 13.36b + 11.16 \]

Переносим все в левую сторону:

\[ 0 \approx 4b^2 - 13.36b + 11.16 - 2b^2 - 14b - 49 \] \[ 0 \approx 2b^2 - 27.36b - 37.84 \]

Решим это квадратное уравнение для \(b\):

\[ 2b^2 - 27.36b - 37.84 = 0 \]

Используя формулу:

\[ b = \frac{27.36 \pm \sqrt{(27.36)^2 - 4 \times 2 \times (-37.84)}}{2 \times 2} \]

Посчитаем дискриминант:

\[ D = 27.36^2 - 4 \times 2 \times (-37.84) \] \[ D = 749.2 + 303.68 = 1052.88 \]

Корень:

\[ \sqrt{D} \approx 32.44 \]

Значит:

\[ b = \frac{27.36 \pm 32.44}{4} \]

Варианты:

1. \[ b = \frac{27.36 + 32.44}{4} = \frac{59.8}{4} \approx 14.95 \]

2. \[ b = \frac{27.36 - 32.44}{4} = \frac{-5.08}{4} \approx -1.27 \]

Отрицательного катета быть не может, выбираем \(b \approx 14.95\, \text{см}\).

Тогда:

\[ a = b + 7 \approx 14.95 + 7 = 21.95\, \text{см} \]

Гипотенуза:

\[ c \approx \sqrt{2b^2 + 14b + 49} \approx \sqrt{2 \times (14.95)^2 + 14 \times 14.95 + 49} \]

вычислим:

\[ (14.95)^2 \approx 223.5 \] \[ 2 \times 223.5 = 447 \] \[ 14 \times 14.95 \approx 209.3 \]

Итак,

\[ c \approx \sqrt{447 + 209.3 + 49} \approx \sqrt{705.3} \approx 26.56\, \text{см} \]

---

Шаг 5. Найдем площадь полной поверхности призмы

Площадь верхнего и нижнего оснований — два одинаковых прямоугольных треугольника:

\[ S_{осн} = \frac{1}{2} a b = \frac{1}{2} \times 21.95 \times 14.95 \approx 0.5 \times 328.2 \approx 164.1\, \text{см}^2 \]

Общая площадь двух таких оснований:

\[ S_{осн всего} \approx 2 \times 164.1 = 328.2\, \text{см}^2 \]

Площадь боковых поверхностей — три прямых прямоугольных сторон:

• Два ребра \(a\) и \(b\), длиной \(h = 7\, \text{см}\),
• Гипотенуза \(c\) тоже является стороной боковой поверхности.

Площадь боковых сторон:

\[ S_{бок} = (a + b + c) \times h \]

Подставим числовые значения:

\[ a \approx 21.95,\quad b \approx 14.95,\quad c \approx 26.56 \]

Сумма:

\[ a + b + c \approx 21.95 + 14.95 + 26.56 \approx 63.46 \]

Тогда:

\[ S_{бок} \approx 63.46 \times 7 \approx 444\, \text{см}^2 \]

---

Итоговая площадь полной поверхности:

\[ S_{итог} = S_{осн всего} + S_{бок} \approx 328.2 + 444 = \boxed{772.2\, \text{см}^2} \]

---

Ответ:

Площадь полной поверхности призмы примерно равна \(\boxed{772}\, \text{см}^2\).