Задан цилиндр, высота которого равна 7 см, а площадь осевого сечения – 84 см2. В цилиндр вписана треугольная призма. Основание призмы – прямоугольный треугольник с разностью катетов 7 см. Найдите площадь полной поверхности призмы.

Давайте последовательно разберем задачу и найдем искомую площадь полной поверхности призмы. --- ### Дано: - Высота цилиндра \( h = 7\, \text{см} \) - Площадь осевого сечения цилиндра (площадь поперечного сечения) — площадь боковой поверхности в разрезе вдоль оси, равно 84 см². - Внутри цилиндра вписана прямоугольная треугольная призма. - Основание призмы — прямоугольный треугольник, разность катетов равна 7 см. --- ### Шаг 1. Определим радиус основания цилиндра Площадь осевого сечения цилиндра — это площадь поперечного сечения равна \(\pi r^2\). Площадь сечения: \[ \pi r^2 = 84\, \text{см}^2 \] \[ r^2 = \frac{84}{\pi} \] \[ r = \sqrt{\frac{84}{\pi}} \] --- ### Шаг 2. Определим параметры треугольной призмы Форма основания призмы — прямоугольный треугольник. Обозначим катеты как \(a\) и \(b\). Дано: \[ |a - b| = 7 \] Поскольку призма вписана в цилиндр, основание треугольника — это прямоугольный треугольник, в который вписан круг радиуса \(r\). Радиус вписанного круга для прямоугольного треугольника: \[ r = \frac{a + b - c}{2} \] Где \(c\) — гипотенуза треугольника. Знаем, что радиус вписанного круга равен радиусу основания цилиндра — \(r\): \[ r = \frac{a + b - c}{2} \] Но поскольку \(a\) и \(b\) — катеты, а \(c = \sqrt{a^2 + b^2}\). Подставляем: \[ r = \frac{a + b - \sqrt{a^2 + b^2}}{2} \] Можем выразить через \(a\) и \(b\), используя \(a = b + 7\): \[ r = \frac{b + 7 + b - \sqrt{(b + 7)^2 + b^2}}{2} \] \[ = \frac{2b + 7 - \sqrt{b^2 + 14b + 49 + b^2}}{2} \] \[ = \frac{2b + 7 - \sqrt{2b^2 + 14b + 49}}{2} \] --- ### Шаг 3. Решим уравнение для \(b\) Поскольку \(r = \sqrt{\frac{84}{\pi}}\), можем приравнять и решить для \(b\): \[ \sqrt{\frac{84}{\pi}} = \frac{2b + 7 - \sqrt{2b^2 + 14b + 49}}{2} \] Для удобства обозначим: \[ R = \sqrt{\frac{84}{\pi}} \] Тогда уравнение: \[ 2 R = 2b + 7 - \sqrt{2b^2 + 14b + 49} \] Выразим \(\sqrt{2b^2 + 14b + 49}\): \[ \sqrt{2b^2 + 14b + 49} = 2b + 7 - 2 R \] Квадрат обеих частей: \[ 2b^2 + 14b + 49 = (2b + 7 - 2 R)^2 \] Раскроем правую часть: \[ (2b + 7 - 2 R)^2 = (2b)^2 + 2 \cdot 2b \cdot (7 - 2 R) + (7 - 2 R)^2 \] \[ = 4b^2 + 4b (7 - 2 R) + (7 - 2 R)^2 \] \[ = 4b^2 + 28b - 8b R + (7 - 2 R)^2 \] Теперь приравниваем: \[ 2b^2 + 14b + 49 = 4b^2 + 28b - 8b R + (7 - 2 R)^2 \] Переносим все в левую сторону: \[ 0 = 4b^2 + 28b - 8b R + (7 - 2 R)^2 - 2b^2 - 14b - 49 \] Упрощаем: \[ 0 = (4b^2 - 2b^2) + (28b - 14b) - 8b R + (7 - 2 R)^2 - 49 \] \[ 0 = 2b^2 + 14b - 8b R + (7 - 2 R)^2 - 49 \] Отметим, что \( R = \sqrt{\frac{84}{\pi}} \), это конкретное число, поэтому для дальнейших расчетов можно взять приближення, чтобы получить числовое значение. --- ### Шаг 4: Вычислим радиус \(r\) Числовое приближение: \[ \pi \approx 3.1416 \] \[ r = \sqrt{\frac{84}{3.1416}} \approx \sqrt{26.75} \approx 5.17\, \text{см} \] Теперь: \[ r \approx 5.17 \] И по формуле радиуса вписанного круга: \[ r = \frac{a + b - c}{2} \] понимая, что \(a = b + 7\): \[ 2r = a + b - c \] Заметим: Для треугольника с катетами \(a, b\) и гипотенузой \(c\): \[ c = \sqrt{a^2 + b^2} \] Подставим \(a = b + 7\): \[ c = \sqrt{(b + 7)^2 + b^2} = \sqrt{b^2 + 14b + 49 + b^2} = \sqrt{2b^2 + 14b + 49} \] Тогда: \[ 2r = a + b - c = (b + 7) + b - \sqrt{2b^2 + 14b + 49} = 2b + 7 - c \] Отсюда: \[ c = 2b + 7 - 2r \] Подставим числовое значение \(r \approx 5.17\): \[ c \approx 2b + 7 - 2 \times 5.17 = 2b + 7 - 10.34 = 2b - 3.34 \] Также, по определению, \(c = \sqrt{2b^2 + 14b + 49}\): \[ \sqrt{2b^2 + 14b + 49} \approx 2b - 3.34 \] Возводим обе части в квадрат: \[ 2b^2 + 14b + 49 \approx (2b - 3.34)^2 = 4b^2 - 2 \times 2b \times 3.34 + 3.34^2 = 4b^2 - 13.36b + 11.16 \] Теперь приравниваем левую и правую части (здесь пример с приближением): \[ 2b^2 + 14b + 49 \approx 4b^2 - 13.36b + 11.16 \] Переносим все в левую сторону: \[ 0 \approx 4b^2 - 13.36b + 11.16 - 2b^2 - 14b - 49 \] \[ 0 \approx 2b^2 - 27.36b - 37.84 \] Решим это квадратное уравнение для \(b\): \[ 2b^2 - 27.36b - 37.84 = 0 \] Используя формулу: \[ b = \frac{27.36 \pm \sqrt{(27.36)^2 - 4 \times 2 \times (-37.84)}}{2 \times 2} \] Посчитаем дискриминант: \[ D = 27.36^2 - 4 \times 2 \times (-37.84) \] \[ D = 749.2 + 303.68 = 1052.88 \] Корень: \[ \sqrt{D} \approx 32.44 \] Значит: \[ b = \frac{27.36 \pm 32.44}{4} \] Варианты: 1. \[ b = \frac{27.36 + 32.44}{4} = \frac{59.8}{4} \approx 14.95 \] 2. \[ b = \frac{27.36 - 32.44}{4} = \frac{-5.08}{4} \approx -1.27 \] Отрицательного катета быть не может, выбираем \(b \approx 14.95\, \text{см}\). Тогда: \[ a = b + 7 \approx 14.95 + 7 = 21.95\, \text{см} \] Гипотенуза: \[ c \approx \sqrt{2b^2 + 14b + 49} \approx \sqrt{2 \times (14.95)^2 + 14 \times 14.95 + 49} \] вычислим: \[ (14.95)^2 \approx 223.5 \] \[ 2 \times 223.5 = 447 \] \[ 14 \times 14.95 \approx 209.3 \] Итак, \[ c \approx \sqrt{447 + 209.3 + 49} \approx \sqrt{705.3} \approx 26.56\, \text{см} \] --- ### Шаг 5. Найдем площадь полной поверхности призмы Площадь верхнего и нижнего оснований — два одинаковых прямоугольных треугольника: \[ S_{осн} = \frac{1}{2} a b = \frac{1}{2} \times 21.95 \times 14.95 \approx 0.5 \times 328.2 \approx 164.1\, \text{см}^2 \] Общая площадь двух таких оснований: \[ S_{осн всего} \approx 2 \times 164.1 = 328.2\, \text{см}^2 \] Площадь боковых поверхностей — три прямых прямоугольных сторон: - Два ребра \(a\) и \(b\), длиной \(h = 7\, \text{см}\), - Гипотенуза \(c\) тоже является стороной боковой поверхности. Площадь боковых сторон: \[ S_{бок} = (a + b + c) \times h \] Подставим числовые значения: \[ a \approx 21.95,\quad b \approx 14.95,\quad c \approx 26.56 \] Сумма: \[ a + b + c \approx 21.95 + 14.95 + 26.56 \approx 63.46 \] Тогда: \[ S_{бок} \approx 63.46 \times 7 \approx 444\, \text{см}^2 \] --- ### **Итоговая площадь полной поверхности:** \[ S_{итог} = S_{осн всего} + S_{бок} \approx 328.2 + 444 = \boxed{772.2\, \text{см}^2} \] --- ### **Ответ:** **Площадь полной поверхности призмы примерно равна \(\boxed{772}\, \text{см}^2\).**