Исследование функции с помощью производной и построение графика y=2x-1/6x³

Конечно! Давайте подробно разберем задачу по исследованию функции \( y = 2x - \frac{1}{6}x^3 \) с помощью производной и построением графика. --- ### Шаг 1: Запишем функцию \[ y = 2x - \frac{1}{6}x^3 \] --- ### Шаг 2: Найдем первую производную \( y' \) Производная функции показывает, как меняется значение функции при небольших изменениях \( x \). \[ y' = \frac{d}{dx} \left( 2x - \frac{1}{6}x^3 \right) \] применяем правила дифференцирования: - Производная \( 2x \) — это 2. - Производная \( - \frac{1}{6}x^3 \) — это: \[ - \frac{1}{6} \cdot 3x^2 = - \frac{1}{6} \times 3 x^2 = - \frac{1}{2} x^2 \] Итак, \[ y' = 2 - \frac{1}{2} x^2 \] --- ### Шаг 3: Исследуем функцию с помощью первой производной #### 3.1 Найдём точки экстремума (максимума или минимума) Экстремумы — это точки, где производная равна нулю или не существует. Решим уравнение: \[ 2 - \frac{1}{2} x^2 = 0 \] \[ \Rightarrow \frac{1}{2} x^2 = 2 \] \[ \Rightarrow x^2 = 4 \] \[ \Rightarrow x = \pm 2 \] Значит, возможны точки экстремума при \( x = 2 \) и \( x = -2 \). #### 3.2 Определим характер экстремумов Проведем анализ знака первой производной. - Для \( x < -2 \): \[ x^2 > 4 \Rightarrow \frac{1}{2} x^2 > 2 \Rightarrow y' < 0 \] - Для \( -2 < x < 2 \): \[ x^2 < 4 \Rightarrow y' > 0 \] - Для \( x > 2 \): \[ x^2 > 4 \Rightarrow y' < 0 \] **Интервал:** - При \( x < -2 \), производная отрицательна — функция убывает. - При \( -2 < x < 2 \), производная положительна — функция возрастает. - При \( x > 2 \), производная снова отрицательна — функция убывает. **Итак:** - В точке \( x = -2 \) — функция достигает локального maxima (максимума). - В точке \( x = 2 \) — функция достигает локального minima (минимума). --- ### Шаг 4: Исследование на точки перегиба Чтобы найти точки перегиба, нужно изучить вторую производную \( y'' \). ### Шаг 5: Найдем вторую производную \( y'' \) Для этого дифференцируем уже полученную первую производную: \[ y' = 2 - \frac{1}{2} x^2 \] \[ y'' = \frac{d}{dx} \left( 2 - \frac{1}{2} x^2 \right) = 0 - \frac{1}{2} \times 2x = -x \] Итак, \[ y'' = -x \] --- ### Шаг 6: Исследуем на точки перегиба Точки перегиба — это точки, где \( y'' = 0 \): \[ -x = 0 \Rightarrow x=0 \] Анализируем знак \( y'' \): - Для \( x < 0 \): \[ y'' = -x > 0 \] - Для \( x > 0 \): \[ y'' = -x < 0 \] Это говорит о смене характера кривизны: функция меняет свою кривизну на точке \( x=0 \): - Для \( x < 0 \), кривая вогнутая вверх. - Для \( x > 0 \), кривая вогнутая вниз. --- ### Шаг 7: Построение графика и итоговая характеристика - **Точки экстремума:** - Локальный максимум при \( x = -2 \). - Локальный минимум при \( x=2 \). - **Критические точки:** - \( x = -2 \), \( y = 2(-2) - \frac{1}{6}(-2)^3 = -4 - \frac{1}{6}(-8) = -4 + \frac{8}{6} = -4 + \frac{4}{3} \approx -4 + 1.33 = -2.67 \). - \( x=2 \), \( y= 2(2) - \frac{1}{6}(2)^3 = 4 - \frac{1}{6} \times 8 = 4 - \frac{8}{6} = 4 - \frac{4}{3} \approx 4 - 1.33 = 2.67 \). - **Точка перегиба:** \( x=0 \) \[ y(0) = 2(0) - \frac{1}{6} \times 0 = 0 \] --- ### Итоговая характеристика графика: - Функция убывает при \( x < -2 \). - Имеет локальный максимум в точке \( (-2, -2.67) \). - В интервале \( (-2, 2) \) возрастает. - В точке \( (0,0) \) есть точка перелома кривизны. - В интервале \( (2, \infty) \) функция убывает. - Имеет локальный минимум в точке \( (2, 2.67) \). --- Если нужно, я могу помочь с построением графика или дать дополнительные пояснения!