прямом параллелепипеде стороны основания 1 см и 2 см образуют угол 30° • EoroBaa поверхность равна 16 СМ/ • Найдите его объем.

Давайте разберем задачу пошагово.

Задача:
В прямом параллелепипеде стороны основания 1 см и 2 см образуют угол 30°. Поверхность параллелепипеда равна 16 см². Найти его объем.

Шаг 1: Визуализация и обозначения

• Пусть основание — это прямоугольник с длинами сторон:

  • \( a = 1 \text{ см} \)
  • \( b = 2 \text{ см} \)

• Эти стороны лежат в одной плоскости и образуют угол \( \theta = 30^\circ \).

• Высота параллелепипеда — это \( h \), ее нужно найти.

Шаг 2: Свойство основания с углом

Так как стороны основания образуют угол \( 30^\circ \), то это значит, что их ориентации в пространстве связаны через этот угол. Однако, поскольку параллелепипед "прямой", высота \( h \) перпендикулярна основанию.

Шаг 3: Формула поверхности

Площадь поверхности \( S \) в прямом параллелепипеде: \[ S = 2(ab + ah + bh) \]

Нам известно: \[ S = 16 \text{ см}^2 \] Подставляем: \[ 2(ab + ah + bh) = 16 \] или \[ ab + ah + bh = 8 \]

Шаг 4: Учет угла между сторонами основания

Площадь основания: \[ S_осн = a \times b \times \cos 30^\circ \] или, точнее, поскольку они образуют угол в плоскости, их проекция связана с этим углом.

Но здесь важно понять, что стороны лежат в одной плоскости, образуя угол 30°, и тогда:

Площадь основания — это площадь параллелограмма, а не прямоугольника: \[ S_осн = a \times b \times \sin 30^\circ \]

Потому что, если стороны образуют параллелограмм, его площадь: \[ S_осн = a \times b \times \sin \theta \]

Подставляем: \[ a = 1 \text{ см}, \quad b= 2 \text{ см}, \quad \theta=30^\circ \] Тогда: \[ S_осн = 1 \times 2 \times \sin 30^\circ = 2 \times 0.5 = 1 \text{ см}^2 \]

Шаг 5: Расчет высоты \(h\)

Теперь, возвращаясь к уравнению площади поверхности: \[ ab + ah + bh = 8 \] Подставляем \( a=1 \), \( b=2 \): \[ (1 \times 2) + 1 \times h + 2 \times h = 8 \] \[ 2 + h + 2h = 8 \] \[ 2 + 3h = 8 \] \[ 3h = 6 \] \[ h = 2 \text{ см} \]

Шаг 6: Объем параллелепипеда

Объем \( V \): \[ V = S_{осн} \times h \] где основание — параллелограмм с площадью \( 1 \text{ см}^2 \), а высота \( h=2 \text{ см} \).

Но чтобы четко, помним, что для параллелограмма: \[ S_{осн} = a \times b \times \sin 30^\circ = 1 \times 2 \times 0.5 = 1 \text{ см}^2 \]

Итак: \[ V = 1 \times 2 = 2 \text{ см}^3 \]

Ответ:

Объем параллелепипеда равен 2 кубическим сантиметрам.