Задумано двузначное число, которое делится на 6. К нему справа приписали это же число ещё раз. Оказалось, что получившееся четырёхзначное число делится на 11. Какое число задумали?
Рассмотрим задачу по шагам, чтобы найти задумавшееся двузначное число.
Шаг 1: Объявим переменную
Пусть задуманное число — это \( x \), где \( 10 \leq x \leq 99 \) (так как число двузначное).
Шаг 2: Условие делимости на 6
Число делится на 6, если оно делится на 2 и на 3.
- Делимость на 2: число \( x \) должно быть чётным, значит \( x \) — чётное.
- Делимость на 3: сумма цифр числа должна делиться на 3.
Узнаем возможные значения \( x \): это чётные двузначные числа, у которых сумма цифр делится на 3.
Шаг 3: Построим число, образуемое приписыванием \( x \) к себе
Когда мы справа приписываем число \( x \) к себе, получаем четырёхзначное число.
Это примерно так: если \( x \) — двузначное число, то новое число можно записать как:
\[ \text{число} = 100 \times x + x = 101 \times x \]
Потому что приписывание \( x \) справа — это как умножение \( x \) на 100 и прибавление ещё раз \( x \).
Шаг 4: Условие делимости полученного числа на 11
Получившееся число \( 101 \times x \) делится на 11.
Поскольку 101 — это простое число, оно не делится на 11 (так как \( 101 \div 11 \) — нецело).
Для делимости произведения \( 101 \times x \) на 11 необходимо, чтобы \( x \) делилось на 11.
Это следует из свойства, что \( a \times b \) делится на \( p \), если хотя бы один из множителей делится на \( p \), при условии, что \( p \) — простое число или не делит ни одного из множителей иначе.
Поскольку 101 — не делится на 11, то для делимости всего произведения на 11 необходимо, чтобы \( x \) делилось на 11.
Шаг 5: Найдём возможные варианты
Теперь выбираем двузначные чётные числа, делящиеся на 11: это числа из диапазона [10, 99].
Числа, делящиеся на 11 в диапазоне двухзначных:
- 11, 22, 33, 44, 55, 66, 77, 88, 99
Из них — чётные: 22, 44, 66, 88.
Теперь, сколько из них делятся на 3, чтобы соответствовать условию делимости \( x \) на 3?
Проверим сумму цифр:
- \( 22 \): 2 + 2 = 4 — не делится на 3
- \( 44 \): 4 + 4 = 8 — не делится на 3
- \( 66 \): 6 + 6 = 12 — делится на 3
- \( 88 \): 8 + 8 = 16 — не делится на 3
Только число \( 66 \) делится сразу и на 3, и на 2, то есть делится на 6.
Шаг 6: Проверка решения
Задуманное число: \( x = 66 \).
Строим число из приписанных \( x \):
\[ \text{Число} = 101 \times 66 \]
Проверим делимость этого числа на 11:
Поскольку \( x = 66 \) делится на 11, а 101 — не делится на 11, хотя это число не делится на 11 само по себе, сумма полученного числа:
\[ 101 \times 66 = 6666 \]
Проверим делимость 6666 на 11:
Делимость на 11 можно проверить по правилу: разность суммы цифр на нечетных позициях и суммы цифр на четных позициях должна быть кратна 11 или равна нулю.
Цифры числа 6666: 6, 6, 6, 6
- Сумма цифр на нечетных позициях (1-я и 3-я): 6 + 6 = 12
- Сумма цифр на четных позициях (2-я и 4-я): 6 + 6 = 12
Разность: 12 — 12 = 0
0 кратно 11, значит 6666 делится на 11.
ИТОГ:
Задуманное число — 66.
Ответ: \(\boxed{66}\)
Если есть дополнительные вопросы или нужен разбор других вариантов — обращайтесь!
