Стороны треугольника равны 9 см, 10 см и 17 см. Найдите наибольшую высоту. 3 б.

Рассмотрим задачу: есть треугольник со сторонами 9 см, 10 см и 17 см. Нужно найти его наибольшую высоту. Для начала проверим, является ли такой треугольник возможным. 1. Проверка существования треугольника: - Сумма двух меньших сторон должна быть больше самой большой: 9 + 10 = 19 > 17 Значит, треугольник существует. 2. Мы ищем наибольшую высоту. Высота в треугольнике — это перпендикуляр, опущенный из вершины на противоположную сторону. Наибольшая высота соответствует стороне с наименьшей длиной, потому что высота опускается перпендикуляр из вершины, и её длина зависит от длины стороны и площади треугольника. Но по формуле высоты относительно стороны \(a\): \[ h_a = \frac{2S}{a} \] где \(S\) — площадь треугольника. Следовательно, чтобы найти максимальную высоту, нужно найти минимальную сторону и вычислить высоту, опущенную на неё. --- ### Шаг 1. Найти площадь треугольника Площадь можно найти по формуле Герона: \[ S = \sqrt{p(p - a)(p - b)(p - c)} \] где \(a=9\), \(b=10\), \(c=17\), а \(p\) — полупериметр: \[ p = \frac{a + b + c}{2} = \frac{9 + 10 + 17}{2} = \frac{36}{2} = 18 \] Теперь подставим в формулу Герона: \[ S = \sqrt{18(18 - 9)(18 - 10)(18 - 17)} = \sqrt{18 \times 9 \times 8 \times 1} \] Посчитаем внутри корня: \[ 18 \times 9 = 162 \\ 162 \times 8 = 1296 \\ 1296 \times 1 = 1296 \] Следовательно: \[ S = \sqrt{1296} = 36 \text{ см}^2 \] --- ### Шаг 2. Найти высоту, опущенную на сторону \(a=9\) см: \[ h_a = \frac{2S}{a} = \frac{2 \times 36}{9} = \frac{72}{9} = 8 \text{ см} \] Обратим внимание, чтобы найти остальные высоты, нужно рассматривать остальные стороны: - Высота, опущенная на сторону 10 см (т.е., высота относительно стороны 10): \[ h_b = \frac{2S}{b} = \frac{72}{10} = 7.2 \text{ см} \] - Высота, опущенная на сторону 17 см: \[ h_c = \frac{2S}{c} = \frac{72}{17} \approx 4.24 \text{ см} \] --- ### Итог: Наибольшая высота соответствует меньшей стороне, и равна она: \[ h_{max} = 8 \text{ см} \] --- ### **Ответ:** **Наибольшая высота равна 8 см.**