Стороны треугольника равны 9 см, 10 см и 17 см. Найдите наибольшую высоту. 3 б.
Рассмотрим задачу: есть треугольник со сторонами 9 см, 10 см и 17 см. Нужно найти его наибольшую высоту.
Для начала проверим, является ли такой треугольник возможным.
- Проверка существования треугольника:
Сумма двух меньших сторон должна быть больше самой большой:
9 + 10 = 19 > 17
Значит, треугольник существует.
- Мы ищем наибольшую высоту. Высота в треугольнике — это перпендикуляр, опущенный из вершины на противоположную сторону. Наибольшая высота соответствует стороне с наименьшей длиной, потому что высота опускается перпендикуляр из вершины, и её длина зависит от длины стороны и площади треугольника.
Но по формуле высоты относительно стороны \(a\):
\[ h_a = \frac{2S}{a} \]
где \(S\) — площадь треугольника.
Следовательно, чтобы найти максимальную высоту, нужно найти минимальную сторону и вычислить высоту, опущенную на неё.
Шаг 1. Найти площадь треугольника
Площадь можно найти по формуле Герона:
\[ S = \sqrt{p(p - a)(p - b)(p - c)} \]
где \(a=9\), \(b=10\), \(c=17\), а \(p\) — полупериметр:
\[ p = \frac{a + b + c}{2} = \frac{9 + 10 + 17}{2} = \frac{36}{2} = 18 \]
Теперь подставим в формулу Герона:
\[ S = \sqrt{18(18 - 9)(18 - 10)(18 - 17)} = \sqrt{18 \times 9 \times 8 \times 1} \]
Посчитаем внутри корня:
\[ 18 \times 9 = 162 \\ 162 \times 8 = 1296 \\ 1296 \times 1 = 1296 \]
Следовательно:
\[ S = \sqrt{1296} = 36 \text{ см}^2 \]
Шаг 2. Найти высоту, опущенную на сторону \(a=9\) см:
\[ h_a = \frac{2S}{a} = \frac{2 \times 36}{9} = \frac{72}{9} = 8 \text{ см} \]
Обратим внимание, чтобы найти остальные высоты, нужно рассматривать остальные стороны:
- Высота, опущенная на сторону 10 см (т.е., высота относительно стороны 10):
\[ h_b = \frac{2S}{b} = \frac{72}{10} = 7.2 \text{ см} \]
- Высота, опущенная на сторону 17 см:
\[ h_c = \frac{2S}{c} = \frac{72}{17} \approx 4.24 \text{ см} \]
Итог:
Наибольшая высота соответствует меньшей стороне, и равна она:
\[ h_{max} = 8 \text{ см} \]
Ответ:
Наибольшая высота равна 8 см.
