Давайте разберём задачу по частям и найдём решение с подробными объяснениями.
Дано:
- Две правильные четырехугольные пирамиды.
- Объём первой пирамиды ( V_1 = 40 ).
- Высота второй пирамиды ( h_2 ) в 1,6 раза меньше, чем высота первой ( h_1 ):
[ h_2 = \frac{h_1}{1,6} ]
- Сторона основания второй пирамиды ( a_2 ) в 2 раза больше, чем сторона основания первой ( a_1 ):
[ a_2 = 2a_1 ]
Нам нужно найти объём второй пирамиды ( V_2 ).
Шаг 1. Формула объёма правильной пирамиды
Объём правильной пирамиды с правильным многоугольным основанием (в данном случае — квадратом) задаётся формулой:
[
V = \frac{1}{3} \times S \times h
]
где:
- ( S ) — площадь основания,
- ( h ) — высота.
Поскольку основание — квадрат, его площадь:
[
S = a^2
]
Следовательно, объём пирамиды:
[
V = \frac{1}{3} a^2 h
]
Шаг 2. Обозначения для первой пирамиды
Пусть:
- ( a_1 ) — сторона основания первой пирамиды,
- ( h_1 ) — высота первой пирамиды,
- её объем ( V_1 = 40 ).
Тогда:
[
40 = \frac{1}{3} a_1^2 h_1 \quad \Rightarrow \quad a_1^2 h_1 = 120
]
Шаг 3. Выразим параметры второй пирамиды
По условию:
[
a_2 = 2 a_1
]
[
h_2 = \frac{h_1}{1,6}
]
Объём второй пирамиды:
[
V_2 = \frac{1}{3} a_2^2 h_2
]
Подставим ( a_2 ) и ( h_2 ):
[
V_2 = \frac{1}{3} (2 a_1)^2 \times \frac{h_1}{1,6}
]
Раскроем скобки и упростим:
[
V_2 = \frac{1}{3} \times 4 a_1^2 \times \frac{h_1}{1,6}
]
Итак:
[
V_2 = \frac{4}{3} a_1^2 \times \frac{h_1}{1,6}
]
знак «(\times)» оставим для ясности, далее упростим дроби:
[
V_2 = \frac{4}{3} \times \frac{a_1^2 h_1}{1,6}
]
Обратите внимание, что ( a_1^2 h_1 = 120 ) из предыдущего шага. Подставим это:
[
V_2 = \frac{4}{3} \times \frac{120}{1,6}
]
Шаг 4. Вычислим конечный результат
Рассчитаем:
[
V_2 = \frac{4}{3} \times \frac{120}{1,6}
]
Первым делом упростим дробь (\frac{120}{1,6}):
[
\frac{120}{1,6} = 120 \div 1,6
]
Деление на десятичное число удобно выполнить, умножая числитель и знаменатель на 10:
[
120 \div 1,6 = \frac{120 \times 10}{16} = \frac{1200}{16} = 75
]
Теперь вернёмся к формуле:
[
V_2 = \frac{4}{3} \times 75
]
Умножим:
[
V_2 = \frac{4 \times 75}{3} = \frac{300}{3} = 100
]
Ответ:
Объём второй пирамиды равен (\boxed{100}).
