тело массой 0,02 кг совершает гармоническое колебание так, что координата тела изменяется с течением времени по закону x(t)= 0,03sin(20Пt + П/6) определите амплитуду, круговую…
Тело массой 0,02 кг совершает гармоническое колебание так, что координата тела изменяется с течением времени по закону x(t)= 0,03sin(20Пt + П/6) определите амплитуду, круговую частоту, частоту, период колебания, а так же фазу, скорость, ускорение, кинетическую энергию и силу, действующую на тело, в момент времени 0,2 с
Давайте последовательно решим задачу и определим все запрошенные параметры для гармонического колебания.
Дано:
- Масса тела \( m = 0,02\,кг \)
- Закон колебания: \( x(t) = 0,03 \sin(20\pi t + \pi/6) \)
1. Амплитуда \( A \)
Амплитуда — это максимальное смещение тела от равновесия, то есть коэффициент перед синусом: \[ A = 0{,}03\,м \]
2. Круговая частота \( \omega \)
Формула вида \( x(t) = A \sin(\omega t + \phi) \), где \( \omega \) — круговая частота.
Из закона колебания: \[ \omega = 20\pi\, \mathrm{рад/с} \]
3. Частота \( f \)
Связь между частотой и круговой частотой: \[ f = \frac{\omega}{2\pi} = \frac{20\pi}{2\pi} = 10\, \text{Гц} \]
4. Период колебания \( T \)
Период — время одного полного колебания: \[ T = \frac{1}{f} = \frac{1}{10} = 0,1\,с \]
5. Фаза \( \phi \)
Из закона вида: \[ \phi = \frac{\pi}{6} \]
6. Скорость \( v(t) \)
Первая производная координаты: \[ v(t) = \frac{dx}{dt} = A \omega \cos(\omega t + \phi) \] Подставим значения: \[ v(t) = 0,03 \times 20\pi \cos(20\pi t + \pi/6) \]
Вычислим численно: \[ v(t) = 0,03 \times 20\pi \approx 0,03 \times 62,832 \approx 1,8849\, \mathrm{м/с} \] Значение скорости зависит от \(\cos(\omega t + \phi)\).
7. Ускорение \( a(t) \)
Вторая производная координаты: \[ a(t) = -A \omega^2 \sin(\omega t + \phi) \]
Подставляем значения: \[ a(t) = -0,03 \times (20\pi)^2 \sin(20\pi t + \pi/6) \] Рассчитаем \( \omega^2 \): \[ (20\pi)^2 = 400 \pi^2 \approx 400 \times 9,8696 \approx 3947,84 \] Тогда: \[ a(t) \approx -0,03 \times 3947,84 \approx -118,435\, \sin(20\pi t + \pi/6) \]
8. Значения в момент времени \( t = 0,2\,с \)
Координата: \[ x(0,2) = 0,03 \sin(20\pi \times 0,2 + \pi/6) = 0,03 \sin(4\pi + \pi/6) \] Обратим внимание, что \( \sin(\theta + 2\pi) = \sin(\theta) \), так что: \[ 4\pi + \pi/6 = 2 \times 2\pi + \pi/6 \] Значит: \[ x(0,2) = 0,03 \sin(\pi/6) = 0,03 \times 0,5 = 0,015\,м \]
Скорость: \[ v(0,2) = 1,8849 \cos(4\pi + \pi/6) = 1,8849 \cos(\pi/6) \] Так как \( \cos(\pi/6) = \sqrt{3}/2 \approx 0,866 \): \[ v(0,2) \approx 1,8849 \times 0,866 \approx 1,632\, \mathrm{м/с} \]
Ускорение: \[ a(0,2) = -118,435 \sin(4\pi + \pi/6) = -118,435 \sin(\pi/6) \] \(\sin(\pi/6) = 0,5 \): \[ a(0,2) \approx -118,435 \times 0,5 \approx -59,217\, \mathrm{м/с^2} \]
9. Кинетическая энергия \( E_k \)
\[ E_k = \frac{1}{2} m v^2 \] \[ E_k = \frac{1}{2} \times 0,02 \times (1,632)^2 \approx 0,01 \times 2,664 \approx 0,0266\, Дж \]
10. Сила, действующая на тело \( F \)
\[ F = m a(t) \] \[ F(0,2) = 0,02 \times (-59,217) \approx -1,184\, Н \] Знак показывает направление силы.
Итог:
| Параметр | Значение |
|---|---|
| Амплитуда \(A\) | 0,03 м |
| Круговая частота \(\omega\) | \(20\pi\, \mathrm{рад/с}\) |
| Частота \(f\) | 10 Гц |
| Период \(T\) | 0,1 с |
| Фаза \(\phi\) | \(\pi/6\) |
| Время \(t=0,2\,с\) | - Координата: 0,015 м - Скорость: ≈ 1,63 м/с - Ускорение: ≈ -59,2 м/с² - Кинетическая энергия: ≈ 0,0267 Дж - Сила: ≈ -1,18 Н |
Если нужны еще разъяснения или точные вычисления — скажите!
