тело массой 0,02 кг совершает гармоническое колебание так, что координата тела изменяется с течением времени по закону x(t)= 0,03sin(20Пt + П/6) определите амплитуду, круговую частоту, частоту, период колебания, а так же фазу, скорость, ускорение, кинетическую энергию и силу, действующую на тело, в момент времени 0,2 с
Давайте последовательно решим задачу и определим все запрошенные параметры для гармонического колебания.
Дано:
- Масса тела \( m = 0,02\,кг \)
- Закон колебания: \( x(t) = 0,03 \sin(20\pi t + \pi/6) \)
---
### 1. Амплитуда \( A \)
Амплитуда — это максимальное смещение тела от равновесия, то есть коэффициент перед синусом:
\[
A = 0{,}03\,м
\]
---
### 2. Круговая частота \( \omega \)
Формула вида \( x(t) = A \sin(\omega t + \phi) \), где \( \omega \) — круговая частота.
Из закона колебания:
\[
\omega = 20\pi\, \mathrm{рад/с}
\]
---
### 3. Частота \( f \)
Связь между частотой и круговой частотой:
\[
f = \frac{\omega}{2\pi} = \frac{20\pi}{2\pi} = 10\, \text{Гц}
\]
---
### 4. Период колебания \( T \)
Период — время одного полного колебания:
\[
T = \frac{1}{f} = \frac{1}{10} = 0,1\,с
\]
---
### 5. Фаза \( \phi \)
Из закона вида:
\[
\phi = \frac{\pi}{6}
\]
---
### 6. Скорость \( v(t) \)
Первая производная координаты:
\[
v(t) = \frac{dx}{dt} = A \omega \cos(\omega t + \phi)
\]
Подставим значения:
\[
v(t) = 0,03 \times 20\pi \cos(20\pi t + \pi/6)
\]
Вычислим численно:
\[
v(t) = 0,03 \times 20\pi \approx 0,03 \times 62,832 \approx 1,8849\, \mathrm{м/с}
\]
Значение скорости зависит от \(\cos(\omega t + \phi)\).
---
### 7. Ускорение \( a(t) \)
Вторая производная координаты:
\[
a(t) = -A \omega^2 \sin(\omega t + \phi)
\]
Подставляем значения:
\[
a(t) = -0,03 \times (20\pi)^2 \sin(20\pi t + \pi/6)
\]
Рассчитаем \( \omega^2 \):
\[
(20\pi)^2 = 400 \pi^2 \approx 400 \times 9,8696 \approx 3947,84
\]
Тогда:
\[
a(t) \approx -0,03 \times 3947,84 \approx -118,435\, \sin(20\pi t + \pi/6)
\]
---
### 8. Значения в момент времени \( t = 0,2\,с \)
- Координата:
\[
x(0,2) = 0,03 \sin(20\pi \times 0,2 + \pi/6) = 0,03 \sin(4\pi + \pi/6)
\]
Обратим внимание, что \( \sin(\theta + 2\pi) = \sin(\theta) \), так что:
\[
4\pi + \pi/6 = 2 \times 2\pi + \pi/6
\]
Значит:
\[
x(0,2) = 0,03 \sin(\pi/6) = 0,03 \times 0,5 = 0,015\,м
\]
- Скорость:
\[
v(0,2) = 1,8849 \cos(4\pi + \pi/6) = 1,8849 \cos(\pi/6)
\]
Так как \( \cos(\pi/6) = \sqrt{3}/2 \approx 0,866 \):
\[
v(0,2) \approx 1,8849 \times 0,866 \approx 1,632\, \mathrm{м/с}
\]
- Ускорение:
\[
a(0,2) = -118,435 \sin(4\pi + \pi/6) = -118,435 \sin(\pi/6)
\]
\(\sin(\pi/6) = 0,5 \):
\[
a(0,2) \approx -118,435 \times 0,5 \approx -59,217\, \mathrm{м/с^2}
\]
---
### 9. Кинетическая энергия \( E_k \)
\[
E_k = \frac{1}{2} m v^2
\]
\[
E_k = \frac{1}{2} \times 0,02 \times (1,632)^2 \approx 0,01 \times 2,664 \approx 0,0266\, Дж
\]
---
### 10. Сила, действующая на тело \( F \)
\[
F = m a(t)
\]
\[
F(0,2) = 0,02 \times (-59,217) \approx -1,184\, Н
\]
Знак показывает направление силы.
---
## Итог:
| Параметр | Значение |
|---|---|
| Амплитуда \(A\) | 0,03 м |
| Круговая частота \(\omega\) | \(20\pi\, \mathrm{рад/с}\) |
| Частота \(f\) | 10 Гц |
| Период \(T\) | 0,1 с |
| Фаза \(\phi\) | \(\pi/6\) |
| Время \(t=0,2\,с\) | - Координата: 0,015 м
- Скорость: ≈ 1,63 м/с
- Ускорение: ≈ -59,2 м/с²
- Кинетическая энергия: ≈ 0,0267 Дж
- Сила: ≈ -1,18 Н |
Если нужны еще разъяснения или точные вычисления — скажите!
