К окружности с центром 0 проведена касательная AB(A точка касания ) . Найдите радиус окружности если OB=10см и углу ABO=30°

Давайте подробно решим задачу. **Дано:** - Окружность с центром \( O \) - Касательная \( AB \), точка касания \( A \) - \( OB = 10\, \text{см} \) - Углы: \( \angle ABO = 30^\circ \) **Задача:** Найти радиус окружности \( R \). --- ### Шаг 1: Что известно о касательной и радиусе? - Касательная \( AB \) касается окружности в точке \( A \). - Радиус \( OA \) получается как перпендикуляр к касательной в точке касания \( A \): \[ \angle OAD = 90^\circ \quad \text{(где } D \text{ — точка на касательной)}. \] - В этом случае, кортеж \( O, A, B \) образует фигуру, и нам нужно найти \( R = OA \). --- ### Шаг 2: Построение и анализ фигуры Обозначим: - \( OA = R \), - \( OB = 10\, \text{см} \) (это от центра \( O \) до точки \( B \) — произвольной точки на окружности), - Так как \( A \) — точка касания, то \( A \) находится на окружности. Поскольку \( AB \) — касательная в точке \( A \), она перпендикулярна радиусу \( OA \): \[ \angle OAB = 90^\circ. \] --- ### Шаг 3: Анализ треугольника \( OAB \) Рассмотрим треугольник \( OAB \): - \( OA = R \), - \( OB = 10\, \text{см} \), - Угол при \( B \): \( \angle ABO = 30^\circ \). Обратите внимание, что \( A \) расположена на окружности радиусом \( R \), а \( B \) — точка внутри или на окружности. --- ### Шаг 4: Использование свойства угла \( \angle ABO = 30^\circ \) Т.к. \( AB \) — касательная, то она перпендикулярна радиусу \( OA \) в точке \( A \). Обозначим: - \( \angle OAB = 90^\circ \). Тогда, по теореме о косинусах или синусах в треугольнике \( OAB \), можем определить взаимное расположение. --- ### Шаг 5: Расшифровка угла \( \angle ABO \) Рассмотрим треугольник \( OAB \): - Углы: - \( \angle OAB = 90^\circ \), - \( \angle ABO = 30^\circ \), - третий угол \( \angle AOB \) — в нём не хватает информации напрямую. Используем свойства треугольника: - В треугольнике \( OAB \): \[ \text{сумма углов} = 180^\circ, \] следовательно, \[ \angle AOB = 180^\circ - (\angle OAB + \angle ABO) = 180^\circ - (90^\circ + 30^\circ) = 60^\circ. \] --- ### Шаг 6: Используем закон косинусов или синусов Для стороны \( OB = 10 \) см, нам нужно найти \( R = OA \). Рассмотрим треугольник \( OAB \): - \( OA = R \), - \( OB = 10 \), - \( \angle AOB = 60^\circ \). Используем закон косинусов для стороны \( AB \): \[ AB^2 = OA^2 + OB^2 - 2 \cdot OA \cdot OB \cos \angle AOB. \] Но, поскольку \( AB \) — касательная, она перпендикулярна радиусу в точке \( A \), следовательно: \[ \angle OAB = 90^\circ, \] и треугольник \( OAB \) — прямой. Обратите внимание, что в треугольнике \( OAB \): - один угол — \( 90^\circ \), - другой — \( 60^\circ \), - третий — \( 30^\circ \). Это треугольник с углами \( 30^\circ - 60^\circ - 90^\circ \), соотношение сторон которого известно: \[ \text{в таком треугольнике:} \quad \text{против } 30^\circ = \frac{1}{2} \times \text{гипотенуза}, \] \[ \text{против } 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2} \times \text{гипотенуза}. \] Поскольку \( OA = R \)— это гипотенуза, а \( OB = 10 \)— одна из катетов. --- ### **Шаг 7: Связь сторон и вывод** Чтобы сторона \( OB \) соответствовала катету, например: \[ OB = R \times \frac{\sqrt{3}}{2}, \] так как это катет, против \( 60^\circ \) (или против \( 30^\circ \) в другом случае). Тогда: \[ 10 = R \times \frac{\sqrt{3}}{2}, \] \[ R = \frac{10 \times 2}{\sqrt{3}} = \frac{20}{\sqrt{3}}. \] Рационализируем: \[ R = \frac{20 \sqrt{3}}{3} \text{ см}. \] --- ### **Ответ:** \[ \boxed{ \text{Радиус окружности} \ R = \frac{20 \sqrt{3}}{3} \text{ см} \approx 11.55 \text{ см}. } \] --- Если нужно, я могу подробно объяснить каждый шаг.