К окружности с центром 0 проведена касательная AB(A точка касания ) . Найдите радиус окружности если OB=10см и углу ABO=30°
Давайте подробно решим задачу.
Дано:
- Окружность с центром \( O \)
- Касательная \( AB \), точка касания \( A \)
- \( OB = 10\, \text{см} \)
- Углы: \( \angle ABO = 30^\circ \)
Задача: Найти радиус окружности \( R \).
Шаг 1: Что известно о касательной и радиусе?
Касательная \( AB \) касается окружности в точке \( A \).
Радиус \( OA \) получается как перпендикуляр к касательной в точке касания \( A \):
\[ \angle OAD = 90^\circ \quad \text{(где } D \text{ — точка на касательной)}. \]
В этом случае, кортеж \( O, A, B \) образует фигуру, и нам нужно найти \( R = OA \).
Шаг 2: Построение и анализ фигуры
Обозначим:
- \( OA = R \),
- \( OB = 10\, \text{см} \) (это от центра \( O \) до точки \( B \) — произвольной точки на окружности),
- Так как \( A \) — точка касания, то \( A \) находится на окружности.
Поскольку \( AB \) — касательная в точке \( A \), она перпендикулярна радиусу \( OA \):
\[ \angle OAB = 90^\circ. \]
Шаг 3: Анализ треугольника \( OAB \)
Рассмотрим треугольник \( OAB \):
- \( OA = R \),
- \( OB = 10\, \text{см} \),
- Угол при \( B \): \( \angle ABO = 30^\circ \).
Обратите внимание, что \( A \) расположена на окружности радиусом \( R \), а \( B \) — точка внутри или на окружности.
Шаг 4: Использование свойства угла \( \angle ABO = 30^\circ \)
Т.к. \( AB \) — касательная, то она перпендикулярна радиусу \( OA \) в точке \( A \).
Обозначим:
- \( \angle OAB = 90^\circ \).
Тогда, по теореме о косинусах или синусах в треугольнике \( OAB \), можем определить взаимное расположение.
Шаг 5: Расшифровка угла \( \angle ABO \)
Рассмотрим треугольник \( OAB \):
- Углы:
- \( \angle OAB = 90^\circ \),
- \( \angle ABO = 30^\circ \),
- третий угол \( \angle AOB \) — в нём не хватает информации напрямую.
Используем свойства треугольника:
- В треугольнике \( OAB \):
\[ \text{сумма углов} = 180^\circ, \]
следовательно,
\[ \angle AOB = 180^\circ - (\angle OAB + \angle ABO) = 180^\circ - (90^\circ + 30^\circ) = 60^\circ. \]
Шаг 6: Используем закон косинусов или синусов
Для стороны \( OB = 10 \) см, нам нужно найти \( R = OA \).
Рассмотрим треугольник \( OAB \):
- \( OA = R \),
- \( OB = 10 \),
- \( \angle AOB = 60^\circ \).
Используем закон косинусов для стороны \( AB \):
\[ AB^2 = OA^2 + OB^2 - 2 \cdot OA \cdot OB \cos \angle AOB. \]
Но, поскольку \( AB \) — касательная, она перпендикулярна радиусу в точке \( A \), следовательно:
\[ \angle OAB = 90^\circ, \]
и треугольник \( OAB \) — прямой.
Обратите внимание, что в треугольнике \( OAB \):
- один угол — \( 90^\circ \),
- другой — \( 60^\circ \),
- третий — \( 30^\circ \).
Это треугольник с углами \( 30^\circ - 60^\circ - 90^\circ \), соотношение сторон которого известно:
\[ \text{в таком треугольнике:} \quad \text{против } 30^\circ = \frac{1}{2} \times \text{гипотенуза}, \] \[ \text{против } 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2} \times \text{гипотенуза}. \]
Поскольку \( OA = R \)— это гипотенуза, а \( OB = 10 \)— одна из катетов.
Шаг 7: Связь сторон и вывод
Чтобы сторона \( OB \) соответствовала катету, например:
\[ OB = R \times \frac{\sqrt{3}}{2}, \]
так как это катет, против \( 60^\circ \) (или против \( 30^\circ \) в другом случае).
Тогда:
\[ 10 = R \times \frac{\sqrt{3}}{2}, \] \[ R = \frac{10 \times 2}{\sqrt{3}} = \frac{20}{\sqrt{3}}. \]
Рационализируем:
\[ R = \frac{20 \sqrt{3}}{3} \text{ см}. \]
Ответ:
\[ \boxed{ \text{Радиус окружности} \ R = \frac{20 \sqrt{3}}{3} \text{ см} \approx 11.55 \text{ см}. } \]
Если нужно, я могу подробно объяснить каждый шаг.
