Пусть
K
L
=
P
Q
KL=PQ,
O
M
⊥
K
L
OM⊥KL,
O
R
⊥
P
Q
OR⊥PQ,
O
O — центр окружности.
Рассмотрим
△
O
K
L
△OKL и
△
O
P
Q
△OPQ.
O
K
OK,
O
L
OL,
O
P
OP,
O
Q
OQ —
, значит, они.
K
L
=
P
Q
KL=PQ по условию.
Следовательно,
△
O
K
L
=
△
O
P
Q
△OKL=△OPQ по
признаку равенства треугольников и
∠
L
=
∠
Q
∠L=∠Q.
Рассмотрим
△
O
M
L
△OML и
△
O
R
Q
△ORQ.
∠
M
=
∠
R
=
9
0
∘
∠M=∠R=90
∘
по условию.
∠
L
=
∠
Q
∠L=∠Q.
O
L
=
O
Q
OL=OQ, так как это
.
Значит,
△
O
M
L
=
△
O
R
Q
△OML=△ORQ
и
O
M
=
O
R
OM=OR.
Следовательно, хорды
K
L
KL и
R
Q
RQ
от центра окружности.
Что и требовалось доказать.
Давайте подробно разберём данную задачу и все её логические шаги.
### Исходные данные и условия:
- \( KL = PQ \) — равна длина хорды \( KL \) и хорды \( PQ \).
- \(\overline{OM} \perp \overline{KL}\), \(\overline{OR} \perp \overline{PQ}\) — радиусы \( OM \) и \( OR \), проведённые перпендикулярно соответствующим Хорд, что указывает на то, что эти радиусы пересекают хорду в её серединах.
- \( O \) — центр окружности.
- Треугольники: \(\triangle OKL\) и \(\triangle OPQ\).
- Также рассматриваются треугольники \(\triangle OML\) и \(\triangle ORQ\).
---
## Что доказано:
### 1. Равенство треугольников \(\triangle OKL\) и \(\triangle OPQ\)
- Из условия \(KL = PQ\), а радиусы \(O M\) и \(O Q\) равны (\(O M = O Q\)), потому что они радиусы окружности.
- Также, поскольку \(\overline{OM} \perp KL\) и \(\overline{OR} \perp PQ\), то эти перпендикуляры делят хорды пополам (медианы, проведённые к хордам через центр окружности).
- В треугольниках \(\triangle OKL\) и \(\triangle OPQ\):
- Общий радиус \(O K = O P\) — радиус окружности.
- \(O L = O Q\) — радиусы, отрезки от центра к концам хорд.
- \(KL = PQ\) — по условию.
- Углы \(\angle L\) и \(\angle Q\) равны, так как соответствуют равным треугольникам (или потому, что радиусы, проведённые перпендикулярно хордам, делят их пополам, или углы при вершинах \(K\) и \(P\)).
- Тогда, по признаку равенства треугольников, \(\triangle OKL = \triangle OPQ\).
### 2. Равенство треугольников \(\triangle OML\) и \(\triangle ORQ\):
- \(\angle M = \angle R = 90^\circ\) — по условию (негласное или из построения).
- \(OL = OQ\) — радиусы.
- \(OM = OR\) — равны, так как оба радиуса.
- Тогда, по признакам равенства треугольников, \(\triangle OML = \triangle ORQ\).
- Из равенства следует, что \(\overline{OM} = \overline{OR}\).
---
## Итог:
- Хорды \(KL\) и \(RQ\) равноудалены от центра окружности (так как радиусы, проведённые перпендикулярно к хордам, делят их пополам, а сами радиусы равны).
- Следовательно, хорды \(KL\) и \(RQ\) — равноудалённые от центра, то есть, расположенные на одинаковом расстоянии от него.
- В случае, когда хорд равны по длине и равноудалены от центра окружности, эти хорды могут быть равными или находиться на одинаковом расстоянии.
---
## Итоговая формулировка:
**Доказано, что хорды \(KL\) и \(RQ\) равны и расположены на одном и том же расстоянии от центра окружности.**
