Практика показывает, что 7% накладных, проходящих проверку в бухгалтерии, оказываются неправильно оформленными. Наугад отобраны 20 накладных. Какова вероятность, что: 1. Три из них оформлены правильно? 2. Как минимум три оформлены неправильно?

Давайте разберём задачу пошагово и подробно объясним решение. **Дана информация:** - Процент правильно оформленных накладных: 93% (100% - 7% неправильно) - Процент неправильно оформленных накладных: 7% (или 0,07 в виде дроби) - Общее число отобранных накладных: 20 Это задача на вероятность для биномиального распределения, так как: - Есть фиксированное число испытаний: 20 - Есть два возможных исхода: правильно или неправильно оформленная накладная - Вероятность успеха (правильное оформление): p = 0,93 - Вероятность неуспеха (неправильное оформление): q = 0,07 - Нас интересует: вероятность того, что из 20 накладных ровно 3 оформлены правильно, и вероятность того, что минимум 3 — неправильно оформлены. --- ### 1. Какова вероятность, что из 20 накладных **ровно 3** оформлены правильно? Это событие — число правильных оформлений равно 3. Обозначим: - X — число правильно оформленных накладных в выборке из 20. - Тогда X ~ B(20, 0,93). Следующая формула для вероятности ровно k успехов: \[ P(X = k) = \binom{n}{k} p^k (1 - p)^{n - k} \] Где: - \( n = 20 \) - \( k = 3 \) - \( p = 0,93 \) Подставляем значения: \[ P(X = 3) = \binom{20}{3} (0,93)^3 (0,07)^{17} \] Рассчитаем по шагам: - \(\binom{20}{3} = \frac{20!}{3! \times 17!} = 1140\) - \( (0,93)^3 \approx 0,804357 \) - \( (0,07)^{17} \) — очень маленькое число, так как 0,07 в степени 17 — около \( 1,78 \times 10^{-23} \) Итоговая вероятность будет очень мала. --- ### 2. Какова вероятность, что **минимум 3** из накладных оформлены неправильно? Это событие — число неправильно оформленных накладных \( Y \), где \( Y = 20 - X \). Нам нужно найти: \[ P(Y \geq 3) \] или, эквивалентно, вероятность, что не более 17 накладных правильно оформлены: \[ P(20 - X \geq 3) \Rightarrow P(X \leq 17) \] Так как: \[ P( Y \geq 3 ) = 1 - P( Y \leq 2) = 1 - P( X \geq 18 ) \] Перепишем: \[ P( \text{не менее 3 неправильно} ) = 1 - P( \text{менее 18 правильно} ) = 1 - P( X \leq 17 ) \] Рассмотрим: \[ P( X \leq 17 ) = 1 - P( X = 18 ) - P( X = 19 ) - P( X = 20 ) \] Для каждого: \[ P( X = k ) = \binom{20}{k} (0,93)^k (0,07)^{20 - k} \] Рассчитаем эти вероятности приближённо, или оставим в виде формул, так как числа очень малы для ручных подсчётов. --- ### Итоговые формулы: **1. Вероятность, что ровно 3 оформлены правильно:** \[ P = \binom{20}{3} (0.93)^3 (0.07)^{17} \] **2. Вероятность, что минимум 3 неправильно:** \[ P = 1 - \left[ \binom{20}{18} (0.93)^{18} (0.07)^2 + \binom{20}{19} (0.93)^{19} (0.07)^1 + \binom{20}{20} (0.93)^{20} (0.07)^0 \right] \] --- Если нужен точный числовой ответ, лучше использовать калькулятор или программу для вычислений с малыми и большими степенями, так как эти значения очень малы. --- ### Обобщённое решение: Примерно: - Вероятность ровно 3 правильных — очень маленькая, т.к. почти все должны быть правильными. - Вероятность, что не менее 3 накладных неправильно, очень близка к 1, так как большинство накладных, скорее всего, неправильно не оформлены. Если хотите, я могу помочь с более точными вычислениями или подсчётом с помощью калькулятора.