Практика показывает, что 7% накладных, проходящих проверку в бухгалтерии, оказываются неправильно оформленными. Наугад отобраны 20 накладных. Какова вероятность, что: 1. Три из…

Давайте разберём задачу пошагово и подробно объясним решение.

Дана информация:

• Процент правильно оформленных накладных: 93% (100% - 7% неправильно)
• Процент неправильно оформленных накладных: 7% (или 0,07 в виде дроби)
• Общее число отобранных накладных: 20

Это задача на вероятность для биномиального распределения, так как:

• Есть фиксированное число испытаний: 20
• Есть два возможных исхода: правильно или неправильно оформленная накладная
• Вероятность успеха (правильное оформление): p = 0,93
• Вероятность неуспеха (неправильное оформление): q = 0,07
• Нас интересует: вероятность того, что из 20 накладных ровно 3 оформлены правильно, и вероятность того, что минимум 3 — неправильно оформлены.

---

1. Какова вероятность, что из 20 накладных ровно 3 оформлены правильно?

Это событие — число правильных оформлений равно 3.

Обозначим:

• X — число правильно оформленных накладных в выборке из 20.
• Тогда X ~ B(20, 0,93).

Следующая формула для вероятности ровно k успехов: \[ P(X = k) = \binom{n}{k} p^k (1 - p)^{n - k} \]

Где:

• \( n = 20 \)
• \( k = 3 \)
• \( p = 0,93 \)

Подставляем значения: \[ P(X = 3) = \binom{20}{3} (0,93)^3 (0,07)^{17} \]

Рассчитаем по шагам:

• \(\binom{20}{3} = \frac{20!}{3! \times 17!} = 1140\)
• \( (0,93)^3 \approx 0,804357 \)
• \( (0,07)^{17} \) — очень маленькое число, так как 0,07 в степени 17 — около \( 1,78 \times 10^{-23} \)

Итоговая вероятность будет очень мала.

---

2. Какова вероятность, что минимум 3 из накладных оформлены неправильно?

Это событие — число неправильно оформленных накладных \( Y \), где \( Y = 20 - X \).

Нам нужно найти: \[ P(Y \geq 3) \]

или, эквивалентно, вероятность, что не более 17 накладных правильно оформлены: \[ P(20 - X \geq 3) \Rightarrow P(X \leq 17) \]

Так как: \[ P( Y \geq 3 ) = 1 - P( Y \leq 2) = 1 - P( X \geq 18 ) \]

Перепишем:

\[ P( \text{не менее 3 неправильно} ) = 1 - P( \text{менее 18 правильно} ) = 1 - P( X \leq 17 ) \]

Рассмотрим:

\[ P( X \leq 17 ) = 1 - P( X = 18 ) - P( X = 19 ) - P( X = 20 ) \]

Для каждого:

\[ P( X = k ) = \binom{20}{k} (0,93)^k (0,07)^{20 - k} \]

Рассчитаем эти вероятности приближённо, или оставим в виде формул, так как числа очень малы для ручных подсчётов.

---

Итоговые формулы:

1. Вероятность, что ровно 3 оформлены правильно: \[ P = \binom{20}{3} (0.93)^3 (0.07)^{17} \]

2. Вероятность, что минимум 3 неправильно: \[ P = 1 - \left[ \binom{20}{18} (0.93)^{18} (0.07)^2 + \binom{20}{19} (0.93)^{19} (0.07)^1 + \binom{20}{20} (0.93)^{20} (0.07)^0 \right] \]

---

Если нужен точный числовой ответ, лучше использовать калькулятор или программу для вычислений с малыми и большими степенями, так как эти значения очень малы.

---

Обобщённое решение:

Примерно:

• Вероятность ровно 3 правильных — очень маленькая, т.к. почти все должны быть правильными.
• Вероятность, что не менее 3 накладных неправильно, очень близка к 1, так как большинство накладных, скорее всего, неправильно не оформлены.

Если хотите, я могу помочь с более точными вычислениями или подсчётом с помощью калькулятора.