В правильной треугольной пирамиде сторона основания 5 дм, боковое ребро 4 дм. Найдите объем пирамиды.
Давайте решим задачу поэтапно и подробно объясним каждый шаг.
Дано:
- Основание — правильный треугольник со стороной \( a = 5\, \text{дм} \).
- Боковое ребро — \( l = 4\, \text{дм} \).
Найти: объем пирамиды \( V \).
Шаг 1. Найти площадь основания
Основание — правильный треугольник со стороной \( a = 5\, \text{дм} \).
Площадь правильного треугольника вычисляется по формуле:
\[ S_{осн} = \frac{\sqrt{3}}{4} a^2 \]
Подставим число:
\[ S_{осн} = \frac{\sqrt{3}}{4} \times 5^2 = \frac{\sqrt{3}}{4} \times 25 = \frac{25\sqrt{3}}{4} \, \text{дм}^2 \]
Шаг 2. Найти высоту треугольника основания \( h_{осн} \)
Высота правильного треугольника внутри — это перпендикуляр, опущенный из вершины к основанию.
Формула для высоты:
\[ h_{осн} = \frac{\sqrt{3}}{2} a \]
подставим:
\[ h_{осн} = \frac{\sqrt{3}}{2} \times 5 = \frac{5\sqrt{3}}{2} \, \text{дм} \]
Шаг 3. Найти апофис пирамиды — высоту \( h \)
Нам нужно найти высоту пирамиды — перпендикуляр, опущенный из вершины пирамиды на основание.
Из данных:
- боковое ребро — \( l = 4\, \text{дм} \).
- вершина пирамиды связана с каждой вершиной основания боковыми ребрами одинаковой длины.
Рассмотрим точку вершины \( V \) и основание среди двух точек — центр основания \( O \) и одну из вершин треугольника.
Поскольку основание — правильный треугольник, его центр совпадает с точкой \( O \), и его координаты можно взять как точку пересечения медиан.
Шаг 4. Найти расстояние от вершины \( V \) до центра основания \( O \)
В основе, чтобы найти высоту пирамиды, нам нужно рассмотреть треугольник, образованный вершиной \( V \), центром основания \( O \) и одной из вершин основания, скажем, \( A \).
Из условия:
- \( VO \) — высота пирамиды (нужно найти).
- \( VA = l = 4\, \text{дм} \) — боковое ребро.
- \( AO \) — расстояние от центра основания до вершины треугольника (радиус opisanya).
Рассчитаем \( AO \):
В правильном треугольнике радиус описанной окружности равен:
\[ R = \frac{a}{\sqrt{3}} \quad \Rightarrow \quad AO = R = \frac{a}{\sqrt{3}} = \frac{5}{\sqrt{3}} = \frac{5\sqrt{3}}{3} \, \text{дм} \]
Шаг 5. Используем теорему Пифагора в треугольнике \( VOA \)
В треугольнике \( VOA \):
- \( VA = 4\, \text{дм} \) (боковое ребро),
- \( AO = \frac{5\sqrt{3}}{3} \) как радиус,
- \( VO \) — высота пирамиды, которую нужно найти.
Пусть \( h \) — высота пирамиды, тогда:
\[ VO = h \]
Тогда по теореме Пифагора:
\[ VA^2 = h^2 + AO^2 \]
подставим значения:
\[ 4^2 = h^2 + \left( \frac{5\sqrt{3}}{3} \right)^2 \]
Расчеты:
\[ 16 = h^2 + \frac{25 \times 3}{9} = h^2 + \frac{75}{9} = h^2 + \frac{25}{3} \]
Переходим к одному знаменателю:
\[ 16 = h^2 + \frac{25}{3} \] \[ h^2 = 16 - \frac{25}{3} = \frac{48}{3} - \frac{25}{3} = \frac{23}{3} \] \[ h = \sqrt{\frac{23}{3}} = \frac{\sqrt{69}}{3} \]
Высота пирамиды:
\[ h = \frac{\sqrt{69}}{3} \, \text{дм} \]
Шаг 6. Найти объем пирамиды
Объем пирамиды рассчитывается по формуле:
\[ V = \frac{1}{3} S_{осн} h \]
подставим найденные значения:
\[ V = \frac{1}{3} \times \frac{25\sqrt{3}}{4} \times \frac{\sqrt{69}}{3} \]
Упростим выражение:
\[ V = \frac{1}{3} \times \frac{25\sqrt{3}}{4} \times \frac{\sqrt{69}}{3} = \frac{25 \sqrt{3} \sqrt{69}}{12 \times 3} = \frac{25 \sqrt{3 \times 69}}{36} \]
Рассчитаем подкоренное:
\[ 3 \times 69 = 207 \]
Итак,
\[ V = \frac{25 \sqrt{207}}{36} \, \text{дм}^3 \]
Итог:
Объем пирамиды:
\[ \boxed{ V = \frac{25 \sqrt{207}}{36} \approx 8.721 \text{ кубических дециметра} } \]
Это — точное выражение объема. В Евклидовых задачах обычно указывают именно его.
