В правильной треугольной пирамиде сторона основания 5 дм, боковое ребро 4 дм. Найдите объем пирамиды.

Давайте решим задачу поэтапно и подробно объясним каждый шаг. **Дано:** - Основание — правильный треугольник со стороной \( a = 5\, \text{дм} \). - Боковое ребро — \( l = 4\, \text{дм} \). **Найти:** объем пирамиды \( V \). --- ### Шаг 1. Найти площадь основания Основание — правильный треугольник со стороной \( a = 5\, \text{дм} \). Площадь правильного треугольника вычисляется по формуле: \[ S_{осн} = \frac{\sqrt{3}}{4} a^2 \] Подставим число: \[ S_{осн} = \frac{\sqrt{3}}{4} \times 5^2 = \frac{\sqrt{3}}{4} \times 25 = \frac{25\sqrt{3}}{4} \, \text{дм}^2 \] --- ### Шаг 2. Найти высоту треугольника основания \( h_{осн} \) Высота правильного треугольника внутри — это перпендикуляр, опущенный из вершины к основанию. Формула для высоты: \[ h_{осн} = \frac{\sqrt{3}}{2} a \] подставим: \[ h_{осн} = \frac{\sqrt{3}}{2} \times 5 = \frac{5\sqrt{3}}{2} \, \text{дм} \] --- ### Шаг 3. Найти апофис пирамиды — высоту \( h \) Нам нужно найти высоту пирамиды — перпендикуляр, опущенный из вершины пирамиды на основание. Из данных: - боковое ребро — \( l = 4\, \text{дм} \). - вершина пирамиды связана с каждой вершиной основания боковыми ребрами одинаковой длины. Рассмотрим точку вершины \( V \) и основание среди двух точек — центр основания \( O \) и одну из вершин треугольника. Поскольку основание — правильный треугольник, его центр совпадает с точкой \( O \), и его координаты можно взять как точку пересечения медиан. --- ### Шаг 4. Найти расстояние от вершины \( V \) до центра основания \( O \) В основе, чтобы найти высоту пирамиды, нам нужно рассмотреть треугольник, образованный вершиной \( V \), центром основания \( O \) и одной из вершин основания, скажем, \( A \). Из условия: - \( VO \) — высота пирамиды (нужно найти). - \( VA = l = 4\, \text{дм} \) — боковое ребро. - \( AO \) — расстояние от центра основания до вершины треугольника (радиус opisanya). Рассчитаем \( AO \): В правильном треугольнике радиус описанной окружности равен: \[ R = \frac{a}{\sqrt{3}} \quad \Rightarrow \quad AO = R = \frac{a}{\sqrt{3}} = \frac{5}{\sqrt{3}} = \frac{5\sqrt{3}}{3} \, \text{дм} \] --- ### Шаг 5. Используем теорему Пифагора в треугольнике \( VOA \) В треугольнике \( VOA \): - \( VA = 4\, \text{дм} \) (боковое ребро), - \( AO = \frac{5\sqrt{3}}{3} \) как радиус, - \( VO \) — высота пирамиды, которую нужно найти. Пусть \( h \) — высота пирамиды, тогда: \[ VO = h \] Тогда по теореме Пифагора: \[ VA^2 = h^2 + AO^2 \] подставим значения: \[ 4^2 = h^2 + \left( \frac{5\sqrt{3}}{3} \right)^2 \] Расчеты: \[ 16 = h^2 + \frac{25 \times 3}{9} = h^2 + \frac{75}{9} = h^2 + \frac{25}{3} \] Переходим к одному знаменателю: \[ 16 = h^2 + \frac{25}{3} \] \[ h^2 = 16 - \frac{25}{3} = \frac{48}{3} - \frac{25}{3} = \frac{23}{3} \] \[ h = \sqrt{\frac{23}{3}} = \frac{\sqrt{69}}{3} \] **Высота пирамиды**: \[ h = \frac{\sqrt{69}}{3} \, \text{дм} \] --- ### Шаг 6. Найти объем пирамиды Объем пирамиды рассчитывается по формуле: \[ V = \frac{1}{3} S_{осн} h \] подставим найденные значения: \[ V = \frac{1}{3} \times \frac{25\sqrt{3}}{4} \times \frac{\sqrt{69}}{3} \] Упростим выражение: \[ V = \frac{1}{3} \times \frac{25\sqrt{3}}{4} \times \frac{\sqrt{69}}{3} = \frac{25 \sqrt{3} \sqrt{69}}{12 \times 3} = \frac{25 \sqrt{3 \times 69}}{36} \] Рассчитаем подкоренное: \[ 3 \times 69 = 207 \] Итак, \[ V = \frac{25 \sqrt{207}}{36} \, \text{дм}^3 \] --- ### Итог: **Объем пирамиды:** \[ \boxed{ V = \frac{25 \sqrt{207}}{36} \approx 8.721 \text{ кубических дециметра} } \] Это — точное выражение объема. В Евклидовых задачах обычно указывают именно его.