Оптическая система из двух расположенных вплотную тонких собирающих линз позволяет получить увеличение предмета, равное Г - 4. Определи оптическую силу одной линзы, учитывая…
Оптическая система из двух расположенных вплотную тонких собирающих линз позволяет получить увеличение предмета, равное Г - 4. Определи оптическую силу одной линзы, учитывая значение расстояния от = предмета до его изображения 1 = 12 см. (Ответ округли до целых.)
Давайте разберём задачу пошагово и подробно.
Дано:
- Обе линзы — тонкие собирающие.
- Величина увеличения системы: \( G = 4 \).
- Расстояние от предмета до изображения (общий путь от предмета через обе линзы до изображения): \( l = 12 \text{ см} \).
Задача: определить оптическую силу одной линзы (обозначим её \( D \)).
Шаг 1. Понимание системы
- Линзы расположены вплотную, значит расстояние между ними пренебрежимо.
- В собирающей линзе — изображение реальное и перевёрнутое.
- В системе из двух линз общее увеличение: произведение увеличений каждой линзы:
\[ G_{общ} = G_1 \times G_2 = 4 \]
Шаг 2. Связь между увеличением, фокусным расстоянием и расстоянием до предмета/изображения
Для тонкой линзы:
\[ \text{Модель:} \quad \frac{1}{f} = \frac{1}{d_o} + \frac{1}{d_i} \]
где:
- \( f \) — фокусное расстояние линзы,
- \( d_o \) — расстояние до предмета,
- \( d_i \) — расстояние до изображения.
Магнитуда увеличения:
\[ G = \left| \frac{d_i}{d_o} \right| \]
Шаг 3. Анализ системы
Обозначим:
- \( d_{o1} \) — расстояние от предмета до первой линзы,
- \( d_{i1} \) — изображение первой линзы (второе предметное положение для второй линзы),
- \( d_{o2} \) — расстояние от второго предмета (полученного после первого) до второй линзы,
- \( d_{i2} \) — итоговое изображение.
При очень близком расположении линз:
\[ d_{o2} \approx d_{i1} \]
Итоговое увеличение:
\[ G_{общ} = G_1 \times G_2 = 4 \]
Шаг 4. Связь расстояний со значениями увеличений
Отношение:
\[ G_1 = \frac{d_{i1}}{d_{o1}} \] \[ G_2 = \frac{d_{i2}}{d_{o2}} \]
Общая длина пути: \( d_{o1} + d_{i2} = 12 \text{ см} \).
В случае идеально короткой системы и учёта геометрии, при увеличении 4, оба линзы могут иметь одинаковое увеличение:
\[ G_1 = G_2 \Rightarrow G_1 = G_2 = 2 \]
(т.к. \(2 \times 2 = 4\)).
Шаг 5. Определение параметров первой линзы
Для \( G_1 = 2 \):
\[ G_1 = \left| \frac{d_{i1}}{d_{o1}} \right| = 2 \] \[ \Rightarrow d_{i1} = 2 d_{o1} \]
Общая длина:
\[ d_{o1} + d_{i1} = d_{o1} + 2 d_{o1} = 3 d_{o1} = 12 \Rightarrow d_{o1} = 4 \text{ см} \]
Тогда:
\[ d_{i1} = 2 \times 4 = 8 \text{ см} \]
Шаг 6. Найти фокусное расстояние первой линзы
По формуле тонкой линзы:
\[ \frac{1}{f_1} = \frac{1}{d_{o1}} + \frac{1}{d_{i1}} = \frac{1}{4} + \frac{1}{8} = \frac{2}{8} + \frac{1}{8} = \frac{3}{8} \] \[ f_1 = \frac{8}{3} \approx 2.67 \text{ см} \]
Шаг 7. Оптическая сила первой линзы
Оптическая сила \( D = \frac{1}{f} \) в диоптриях (при фокусе в метрах):
\[ f_1 = 2.67 \text{ см} = 0.0267 \text{ м} \] \[ D_1 = \frac{1}{f_1} \approx \frac{1}{0.0267} \approx 37.5 \text{ диоптрий} \]
Округлим до целого:
\[ \boxed{D \approx 38 \text{ диоптрий}} \]
Итоговый ответ:
Оптическая сила одной линзы — около 38 диоптрий.
