Давайте разберём задачу пошагово и подробно.
Дано:
- Обе линзы — тонкие собирающие.
- Величина увеличения системы: ( G = 4 ).
- Расстояние от предмета до изображения (общий путь от предмета через обе линзы до изображения): ( l = 12 \text{ см} ).
Задача: определить оптическую силу одной линзы (обозначим её ( D )).
Шаг 1. Понимание системы
- Линзы расположены вплотную, значит расстояние между ними пренебрежимо.
- В собирающей линзе
— изображение реальное и перевёрнутое.
- В системе из двух линз общее увеличение: произведение увеличений каждой линзы:
[
G_{общ} = G_1 \times G_2 = 4
]
Шаг 2. Связь между увеличением, фокусным расстоянием и расстоянием до предмета/изображения
Для тонкой линзы:
[
\text{Модель:} \quad \frac{1}{f} = \frac{1}{d_o} + \frac{1}{d_i}
]
где:
- ( f ) — фокусное расстояние линзы,
- ( d_o ) — расстояние до предмета,
- ( d_i ) — расстояние до изображения.
Магнитуда увеличения:
[
G = \left| \frac{d_i}{d_o} \right|
]
Шаг 3. Анализ системы
Обозначим:
- ( d_{o1} ) — расстояние от предмета до первой линзы,
- ( d_{i1} ) — изображение первой линзы (второе предметное положение для второй линзы),
- ( d_{o2} ) — расстояние от второго предмета (полученного после первого) до второй линзы,
- ( d_{i2} ) — итоговое изображение.
При очень близком расположении линз:
[
d_{o2} \approx d_{i1}
]
Итоговое увеличение:
[
G_{общ} = G_1 \times G_2 = 4
]
Шаг 4. Связь расстояний со значениями увеличений
Отношение:
[
G_1 = \frac{d_{i1}}{d_{o1}}
]
[
G_2 = \frac{d_{i2}}{d_{o2}}
]
Общая длина пути: ( d_{o1} + d_{i2} = 12 \text{ см} ).
В случае идеально короткой системы и учёта геометрии, при увеличении 4, оба линзы могут иметь одинаковое увеличение:
[
G_1 = G_2 \Rightarrow G_1 = G_2 = 2
]
(т.к. (2 \times 2 = 4)).
Шаг 5. Определение параметров первой линзы
Для ( G_1 = 2 ):
[
G_1 = \left| \frac{d_{i1}}{d_{o1}} \right| = 2
]
[
\Rightarrow d_{i1} = 2 d_{o1}
]
Общая длина:
[
d_{o1} + d_{i1} = d_{o1} + 2 d_{o1} = 3 d_{o1} = 12 \Rightarrow d_{o1} = 4 \text{ см}
]
Тогда:
[
d_{i1} = 2 \times 4 = 8 \text{ см}
]
Шаг 6. Найти фокусное расстояние первой линзы
По формуле тонкой линзы:
[
\frac{1}{f_1} = \frac{1}{d_{o1}} + \frac{1}{d_{i1}} = \frac{1}{4} + \frac{1}{8} = \frac{2}{8} + \frac{1}{8} = \frac{3}{8}
]
[
f_1 = \frac{8}{3} \approx 2.67 \text{ см}
]
Шаг 7. Оптическая сила первой линзы
Оптическая сила ( D = \frac{1}{f} ) в диоптриях (при фокусе в метрах):
[
f_1 = 2.67 \text{ см} = 0.0267 \text{ м}
]
[
D_1 = \frac{1}{f_1} \approx \frac{1}{0.0267} \approx 37.5 \text{ диоптрий}
]
Округлим до целого:
[
\boxed{D \approx 38 \text{ диоптрий}}
]
Итоговый ответ:
Оптическая сила одной линзы — около 38 диоптрий.
