Определи, чему равен периметр прямоугольного треугольника, если гипотенуза этого треугольника равна  53 см, а радиус вписанной в этот треугольник окружности равен  10 см.

Давайте решим задачу по шагам и подробно объясним каждый этап. **Дано:** - Гипотенуза треугольника \( c = 53 \) см - Радиус вписанной окружности \( r = 10 \) см **Нужно найти периметр треугольника \( P \).** --- ### Шаг 1. Запишем известные формулы и обозначения: В прямоугольном треугольнике: - Катеты: \( a \) и \( b \) - Гипотенуза: \( c \) - Периметр: \( P = a + b + c \) Известно также, что радиус вписанной окружности \( r \) связан со сторонами и площадью треугольника формулой: \[ r = \frac{S}{p} \] где: - \( S \) — площадь треугольника - \( p = \frac{P}{2} \) — полупериметр Поскольку треугольник прямоугольный: \[ S = \frac{1}{2} a b \] Также, из теоремы Пифагора: \[ a^2 + b^2 = c^2 \] --- ### Шаг 2. Выразим площадь через радиус \( r \): \[ r = \frac{S}{p} \Rightarrow S = r \times p \] Подставим \( S = \frac{1}{2} a b \): \[ \frac{1}{2} a b = r \times \frac{P}{2} \] или \[ a b = r \times P \] Так как \( P = a + b + c \), то: \[ a b = r(a + b + c) \] Подставим значение радиуса (\( r = 10 \) см) и гипотенузы (\( c=53 \) см): \[ a b = 10 (a + b + 53) \] --- ### Шаг 3. Используем теорему Пифагора: \[ a^2 + b^2 = c^2 = 53^2 = 2809 \] Теперь у нас есть система уравнений: 1. \( a b = 10(a + b + 53) \) 2. \( a^2 + b^2 = 2809 \) --- ### Шаг 4. Введем новые переменные: Обозначим \( x = a + b \), тогда из уравнения (1): \[ a b = 10 (x + 53) \] Также, для чисел \( a \) и \( b \): \[ a^2 + b^2 = (a + b)^2 - 2 a b \] \[ 2809 = x^2 - 2 a b \] Подставим \( a b \) из уравнения (1): \[ 2809 = x^2 - 2 \times 10 (x + 53) \] \[ 2809 = x^2 - 20(x + 53) \] Раскроем скобки: \[ 2809 = x^2 - 20x - 20 \times 53 \] Вычислим \( 20 \times 53 \): \[ 20 \times 53 = 1060 \] Следовательно: \[ 2809 = x^2 - 20x - 1060 \] Перенесем всё в левую сторону: \[ x^2 - 20x - 1060 - 2809 = 0 \] \[ x^2 - 20x - 3869 = 0 \] --- ### Шаг 5. Решим квадратное уравнение: \[ x^2 - 20x - 3869 = 0 \] Дискриминант: \[ D = (-20)^2 - 4 \times 1 \times (-3869) = 400 + 15476 = 15876 \] Найдем корни: \[ x = \frac{20 \pm \sqrt{15876}}{2} \] Вычислим \( \sqrt{15876} \): Заметим, что \( 126^2 = 15876 \). Поэтому: \[ x = \frac{20 \pm 126}{2} \] Два варианта: - \( x = \frac{20 + 126}{2} = \frac{146}{2} = 73 \) - \( x = \frac{20 - 126}{2} = \frac{-106}{2} = -53 \) (отрицательная сумма сторон — невозможный случай) Следовательно: \[ a + b = 73 \] --- ### Шаг 6. Найдём \( a b \): Из уравнения \( a b = 10(x + 53) \): \[ a b = 10 (73 + 53) = 10 \times 126 = 1260 \] --- ### Шаг 7. Найдём стороны \( a \) и \( b \). Они являются решениями уравнения: \[ t^2 - (a + b)t + a b = 0 \] то есть: \[ t^2 - 73 t + 1260 = 0 \] Решим это уравнение: Дискриминант: \[ D = 73^2 - 4 \times 1 \times 1260 = 5329 - 5040 = 289 \] \[ \sqrt{D} = 17 \] Корни: \[ t = \frac{73 \pm 17}{2} \] - \( t_1 = \frac{73 + 17}{2} = \frac{90}{2} = 45 \) - \( t_2 = \frac{73 - 17}{2} = \frac{56}{2} = 28 \) Значит, стороны \( a \) и \( b \): \[ a = 28 \quad \text{и} \quad b = 45 \] (или наоборот, разницы не имеет, так как это катеты). --- ### **Шаг 8. Найдём периметр:** \[ P = a + b + c = 28 + 45 + 53 = 126 \text{ см} \] --- ## **Ответ:** **Периметр прямоугольного треугольника равен \(\boxed{126}\) см.**