Определи, чему равен периметр прямоугольного треугольника, если гипотенуза этого треугольника равна 53 см, а радиус вписанной в этот треугольник окружности равен 10 см.
Давайте решим задачу по шагам и подробно объясним каждый этап.
Дано:
- Гипотенуза треугольника \( c = 53 \) см
- Радиус вписанной окружности \( r = 10 \) см
Нужно найти периметр треугольника \( P \).
Шаг 1. Запишем известные формулы и обозначения:
В прямоугольном треугольнике:
- Катеты: \( a \) и \( b \)
- Гипотенуза: \( c \)
- Периметр: \( P = a + b + c \)
Известно также, что радиус вписанной окружности \( r \) связан со сторонами и площадью треугольника формулой: \[ r = \frac{S}{p} \] где:
- \( S \) — площадь треугольника
- \( p = \frac{P}{2} \) — полупериметр
Поскольку треугольник прямоугольный: \[ S = \frac{1}{2} a b \]
Также, из теоремы Пифагора: \[ a^2 + b^2 = c^2 \]
Шаг 2. Выразим площадь через радиус \( r \):
\[ r = \frac{S}{p} \Rightarrow S = r \times p \]
Подставим \( S = \frac{1}{2} a b \): \[ \frac{1}{2} a b = r \times \frac{P}{2} \] или \[ a b = r \times P \]
Так как \( P = a + b + c \), то: \[ a b = r(a + b + c) \]
Подставим значение радиуса (\( r = 10 \) см) и гипотенузы (\( c=53 \) см):
\[ a b = 10 (a + b + 53) \]
Шаг 3. Используем теорему Пифагора:
\[ a^2 + b^2 = c^2 = 53^2 = 2809 \]
Теперь у нас есть система уравнений:
- \( a b = 10(a + b + 53) \)
- \( a^2 + b^2 = 2809 \)
Шаг 4. Введем новые переменные:
Обозначим \( x = a + b \), тогда из уравнения (1):
\[ a b = 10 (x + 53) \]
Также, для чисел \( a \) и \( b \):
\[ a^2 + b^2 = (a + b)^2 - 2 a b \] \[ 2809 = x^2 - 2 a b \]
Подставим \( a b \) из уравнения (1):
\[ 2809 = x^2 - 2 \times 10 (x + 53) \]
\[ 2809 = x^2 - 20(x + 53) \]
Раскроем скобки:
\[ 2809 = x^2 - 20x - 20 \times 53 \]
Вычислим \( 20 \times 53 \):
\[ 20 \times 53 = 1060 \]
Следовательно:
\[ 2809 = x^2 - 20x - 1060 \]
Перенесем всё в левую сторону:
\[ x^2 - 20x - 1060 - 2809 = 0 \]
\[ x^2 - 20x - 3869 = 0 \]
Шаг 5. Решим квадратное уравнение:
\[ x^2 - 20x - 3869 = 0 \]
Дискриминант:
\[ D = (-20)^2 - 4 \times 1 \times (-3869) = 400 + 15476 = 15876 \]
Найдем корни:
\[ x = \frac{20 \pm \sqrt{15876}}{2} \]
Вычислим \( \sqrt{15876} \):
Заметим, что \( 126^2 = 15876 \). Поэтому:
\[ x = \frac{20 \pm 126}{2} \]
Два варианта:
- \( x = \frac{20 + 126}{2} = \frac{146}{2} = 73 \)
- \( x = \frac{20 - 126}{2} = \frac{-106}{2} = -53 \) (отрицательная сумма сторон — невозможный случай)
Следовательно:
\[ a + b = 73 \]
Шаг 6. Найдём \( a b \):
Из уравнения \( a b = 10(x + 53) \):
\[ a b = 10 (73 + 53) = 10 \times 126 = 1260 \]
Шаг 7. Найдём стороны \( a \) и \( b \).
Они являются решениями уравнения:
\[ t^2 - (a + b)t + a b = 0 \]
то есть:
\[ t^2 - 73 t + 1260 = 0 \]
Решим это уравнение:
Дискриминант:
\[ D = 73^2 - 4 \times 1 \times 1260 = 5329 - 5040 = 289 \]
\[ \sqrt{D} = 17 \]
Корни:
\[ t = \frac{73 \pm 17}{2} \]
- \( t_1 = \frac{73 + 17}{2} = \frac{90}{2} = 45 \)
- \( t_2 = \frac{73 - 17}{2} = \frac{56}{2} = 28 \)
Значит, стороны \( a \) и \( b \):
\[ a = 28 \quad \text{и} \quad b = 45 \]
(или наоборот, разницы не имеет, так как это катеты).
Шаг 8. Найдём периметр:
\[ P = a + b + c = 28 + 45 + 53 = 126 \text{ см} \]
Ответ:
Периметр прямоугольного треугольника равен \(\boxed{126}\) см.
