Решите комбинаторные задачи: перестановки, размещения, сочетания 1. Из Москвы до Новосибирска можно добраться поездом и самолетом; из Новосибирска в Томск поездом, самолетом,…

Конечно, давайте решим каждую задачу по порядку и подробно объясним все шаги.

---

1. Маршрут Москва — Новосибирск — Томск

Из условия:

• Москва — Новосибирск: 2 способа (поезд, самолет).
• Новосибирск — Томск: 4 способа (поезд, самолет, автобус, пароход).

Общее число вариантов — это произведение количества способов для каждого этапа:

\[ 2 \times 4 = \boxed{8} \]

---

2. Подъем и спуск на гору – 7 дорог

• Подъем: 7 способов.
• Спуск: 7 способов.

Если подъем и спуск могут осуществляться любыми путями независимо, то число вариантов равно произведению:

\[ 7 \times 7 = \boxed{49} \]

Если подъем и спуск различны (то есть, чтобы их быть разными дорогами), то число способов — это число пар дорог, где подъем — одна из 7, спуск — одна из оставшихся 6, не совпадающих с подъемом:

\[ 7 \times 6 = \boxed{42} \]

---

3. Четырехзначные числа, составленные из цифр 0-5

а) цифры не повторяются, цифры 1,2,3,4,5

Количество вариантов:

• Первая цифра не может быть 0, т.к. число четырехзначное, значит возможные цифры для первой — 1,2,3,4,5 (5 вариантов).
• Остальные цифры — из оставшихся 4 цифр, без повторений.

Порядок:
\[ 5 \times 4 \times 3 \times 2 = \boxed{120} \]

б) цифры могут повторяться

Общий случай:

• Первая цифра: 6 вариантов (0-5).
• Остальные — тоже 6 вариантов, т.к. повторения разрешены.

Всего:
\[ 6^4 = \boxed{1296} \]

в) число нечетное

Значит, последняя цифра должна быть нечетной: 1,3,5 (3 варианта).

• Первая цифра: не равна 0, и может быть любой из 0,1,2,3,4,5, кроме последней цифры и не равной 0, если нечетная.
• На самом деле, проще — рассмотреть случаи для последней цифры, которая должна быть нечетной, и выбрать остальные цифры из допустимых, не повторяя.

Детализация возможных: нужно посчитать, сколько четырехзначных чисел, где последняя — нечетная, и цифры не повторяются (или есть повторения — не указано, возьмем без повторений — для сложности).

Наиболее точное решение (без повторений):

• последняя цифра — 1, 3 или 5 (3 варианта).
• для первой цифры: 1,2,3,4,5 (5 вариантов), включая 0, только если она не совпадает с последней и не равна 0 — отдельно.

Так как цифра должна быть нечетной, и число — четырехзначное:

• Например, последняя цифра: 1, тогда первая цифра — из 1,2,3,4,5, кроме 1 и 0 (0 не допускается, как первая), то есть: 2,3,4,5 (4 варианта).
• Остальные две цифры — из оставшихся, без повторений, из оставшихся 4 цифр.

Используя подход:
Общее число: \(\) зависит от случайных вариантов

Общий ответ, если считать, что цифры не повторяются и последняя — нечетная:
→ Для каждой из 3 вариантов последней цифры (1, 3, 5):

• выбор первых двух цифр из оставшихся 4 цифр без повторений: \(4 \times 3=12\).
• итог: \(3 \times 12=36\).

---

4. Расстановка 6 человек в ряд

Количество способов — перестановка 6 человек:
\[ 6! = 720 \]

---

5. Слово «лодка»

Количество перестановок букв: всего букв — 5, все уникальные.
\[ 5! = 120 \]

---

6. Расписание из 6 уроков по 10 предметам, все разные

Количество способов — перестановка 6 предметов из 10 (за порядок важен):
\[ P_{10}^6 = \frac{10!}{(10-6)!} = \frac{10!}{4!} = 10 \times 9 \times 8 \times 7 \times 6 \times 5 = 151200 \]

---

7. Выбор 3 красок из 5

Без учета порядка: сочетания по формуле C(5,3): \[ C_5^3 = \frac{5!}{3!(5-3)!} = 10 \]

---

8. Выбор «тройка, семерка, туз» из колоды 52 карты

Значит, выбрать одну карту каждого типа и определить, сколько способов это сделать.

• Тройка: 4 варианта (4 тройки).
• Семерка: 4 варианта.
• Туз: 4 варианта.

Общее число способов:
\[ 4 \times 4 \times 4=64 \]

---

9. Шестизначные числа, цифры которых — нечетные (1,3,5,7,9)

Все цифры — нечетные, используется только эти 5 цифр без повторений:

• Первое число: 5 вариантов.
• Второе: 4 варианта.
• Далее: 3, 2, 1.

Общее:
\[ 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 5! = 120 \]

---

10. Распределение 8 девушек по двум лодкам

В меньшую лодку — не более 4 человек, в большую — не более 6.
Заранее отметим:

• Образцы: 0 до 4 человек в меньшей лодке, остальные — в большей.
• Отличие в том, что девушки могут располагаться в любые комбинации, при этом различая лодки.

Рассчитаем число способов для каждой возможной численности в меньшей лодке:

\[ \sum_{k=0}^{4} \binom{8}{k} \]

где \(k\) — число девушек в меньшей лодке.

Но так как девушки различны, то для каждого \(k\) — количество способов выбрать \(k\) девочек в лодку:

\[ \sum_{k=0}^{4} \binom{8}{k} \]

и оставшиеся — идут в другую лодку.

Итого:

\[ \sum_{k=0}^{4} \binom{8}{k} \]

вычислим сумму:
\[ \binom{8}{0} + \binom{8}{1} + \binom{8}{2} + \binom{8}{3} + \binom{8}{4} = 1 + 8 + 28 + 56 + 70 = 163 \]

---

11. Выбор двух изделий одного сорта

• Из 20 изделий I-го сорта можно выбрать 2: \(\binom{20}{2}\).
• Из 30 изделий II-го сорта — тоже \(\binom{30}{2}\).

Общий вариант — сумма этих двух:
\[ \binom{20}{2} + \binom{30}{2} = 190 + 435 = \boxed{625} \]

---

12. Выбор троих футболистов из 11

Без учета порядка — сочетание:
\[ C_{11}^3 = \frac{11!}{3! \times 8!} = 165 \]

---

13. Комплектация хоккейной команды

Задача: выбрать

• 1 вратаря из 2
• 2 защитника из 5 (без повторений)
• 3 нападающих из 8

Количество вариантов: произведение:
\[ 2 \times \binom{5}{2} \times \binom{8}{3} \]

Вычислим:
\[ \binom{5}{2} = 10,\quad \binom{8}{3} = 56 \]

Общая:
\[ 2 \times 10 \times 56=1120 \]

---

14. Трехзначные числа, делящиеся на 57

Найдём все числа от 100 до 999, делящиеся на 57:

Первое число — минимальное ≥100, делящееся на 57:
\[ \frac{100}{57} \approx 1.75 \Rightarrow 2 \quad \Rightarrow 2 \times 57=114 \]

Последнее число ≤999:
\[ \frac{999}{57} \approx 17.5 \Rightarrow 17 \times 57=969 \]

Количество: от 2 до 17, то есть 16 чисел.

Ответ: 16

---

15. Взять двух котов на руки

Имеются 4 кота, нужно выбрать двух и определить, кто — левый, кто — правый:

• Выбираем двух котов из 4: \(\binom{4}{2} = 6\).
• Для каждого выбранного варианта возможны 2 порядка (кто на левом, кто на правом).

Итого:
\[ 6 \times 2 = \boxed{12} \]

---

16. Расписание дежурств из 6 студентов

Количество способов — перестановка 6 человек:
\[ 6! = 720 \]

---

17. Разделение 20 студентов на 3 бригады

• В первую бригаду — 3 человека,
• во вторую — 5 человек,
• остальные — в третью.

Количество вариантов:
\[ \frac{20!}{3! \times 5! \times 12!} \]

или по последовательным выборам:

\[ \binom{20}{3} \times \binom{17}{5} \times \binom{12}{12} = 1140 \times 6188 \times 1 = 7\,054\,320 \]

---

18. Расположение 5 бегунов с условием

• Общее число перестановок — \(5! = 120\).

• Найти число расположений, где бегуны из Голландии и Англии (Предположим, это два из 5) не стоят рядом:

Всего перестановок: 120.

Количество, где Г и А рядом — считается как один блок (Г + А), внутри блока — 2! способов его переставлять.

Общий блок:

• Теперь у нас остается 4 элемента: блок + остальные 3 бегуна, всего 4 элемента.

Количество перестановок:
\[ 4! \times 2! = 24 \times 2=48 \]

Следовательно, число вариантов, где Г и А не стоят рядом:
\[ 120 - 48 = \boxed{72} \]

---

19. Расположение львов и тигров без двух тигров подряд

Общее число способов — перестановка из 5 львов и 4 тигров так, чтобы тигры не шли друг за другом:

• Расположим львов: \(\text{Л} \text{Л} \text{Л} \text{Л} \text{Л}\)

• Между ними и по краям — возможные места для тигров: \(\_\)Л\(\_\)Л\(\_\)Л\(\_\)Л\(\_\)Л\(\_\)

Параметры:

• Кол-во промежутков между львами — 6, из них нужно выбрать 4 — для тигров без совпадений (чтобы не шли подряд):

\[ \binom{6}{4} = 15 \]

• Тогда — количество способов расставить тигров в эти выбранные места:
  Перестановка тигров — 4! = 24.

Общее число — это произведение:
\[ 15 \times 24 = 360 \]

---

20. Выбор 5 цветов из 24, включающих 3 розы

• Берем 3 розы из 15: \(\binom{15}{3}\).
• Остальные — из гвоздик (9): выбираем 2: \(\binom{9}{2}\).

Общее число:
\[ \binom{15}{3} \times \binom{9}{2} = 455 \times 36 = 16\,380 \]

---

Если нужно более подробно по какому-то из вопросов, я готов помочь!