Конечно, давайте решим каждую задачу по порядку и подробно объясним все шаги.
1. Маршрут Москва — Новосибирск — Томск
Из условия:
- Москва — Новосибирск: 2 способа (поезд, самолет).
- Новосибирск — Томск: 4 способа (поезд, самолет, автобус, пароход).
Общее число вариантов — это произведение количества способов для каждого этапа:
[
2 \times 4 = \boxed{8}
]
2. Подъем и спуск на гору – 7 дорог
- Подъем: 7 способов.
- Спуск: 7 способов.
Если подъем и спуск могут осуществляться любыми путями независимо, то число вариантов равно произведению:
[
7 \times 7 = \boxed{49}
]
Если подъем и спуск различны (то есть, чтобы их быть разными дорогами), то число способов — это число пар дорог, где подъем — одна из 7, спуск — одна из оставшихся 6, не совпадающих с подъемом:
[
7 \times 6 = \boxed{42}
]
3. Четырехзначные числа, составленные из цифр 0-5
а) цифры не повторяются, цифры 1,2,3,4,5
Количество вариантов:
- Первая цифра не может быть 0, т.к. число четырехзначное, значит возможные цифры для первой — 1,2,3,4,5 (5 вариантов).
- Остальные цифры — из оставшихся 4 цифр, без повторений.
Порядок:
[
5 \times 4 \times 3 \times 2 = \boxed{120}
]
б) цифры могут повторяться
Общий случай:
- Первая цифра: 6 вариантов (0-5).
- Остальные — тоже 6 вариантов, т.к. повторения разрешены.
Всего:
[
6^4 = \boxed{1296}
]
в) число нечетное
Значит, последняя цифра должна быть нечетной: 1,3,5 (3 варианта).
- Первая цифра: не равна 0, и может быть любой из 0,1,2,3,4,5, кроме последней цифры и не равной 0, если нечетная.
- На самом деле, проще — рассмотреть случаи для последней цифры, которая должна быть нечетной, и выбрать остальные цифры из допустимых, не повторяя.
Детализация возможных: нужно посчитать, сколько четырехзначных чисел, где последняя — нечетная, и цифры не повторяются (или есть повторения — не указано, возьмем без повторений — для сложности).
Наиболее точное решение (без повторений):
- последняя цифра — 1, 3 или 5 (3 варианта).
- для первой цифры: 1,2,3,4,5 (5 вариантов), включая 0, только если она не совпадает с последней и не равна 0 — отдельно.
Так как цифра должна быть нечетной, и число — четырехзначное:
- Например, последняя цифра: 1, тогда первая цифра — из 1,2,3,4,5, кроме 1 и 0 (0 не допускается, как первая), то есть: 2,3,4,5 (4 варианта).
- Остальные две цифры — из оставшихся, без повторений, из оставшихся 4 цифр.
Используя подход:
Общее число: () зависит от случайных вариантов
Общий ответ, если считать, что цифры не повторяются и последняя — нечетная:
→ Для каждой из 3 вариантов последней цифры (1, 3, 5):
- выбор первых двух цифр из оставшихся 4 цифр без повторений: (4 \times 3=12).
- итог: (3 \times 12=36).
4. Расстановка 6 человек в ряд
Количество способов — перестановка 6 человек:
[
6! = 720
]
5. Слово «лодка»
Количество перестановок букв: всего букв — 5, все уникальные.
[
5! = 120
]
6. Расписание из 6 уроков по 10 предметам, все разные
Количество способов — перестановка 6 предметов из 10 (за порядок важен):
[
P_{10}^6 = \frac{10!}{(10-6)!} = \frac{10!}{4!} = 10 \times 9 \times 8 \times 7 \times 6 \times 5 = 151200
]
7. Выбор 3 красок из 5
Без учета порядка: сочетания по формуле C(5,3):
[
C_5^3 = \frac{5!}{3!(5-3)!} = 10
]
8. Выбор «тройка, семерка, туз» из колоды 52 карты
Значит, выбрать одну карту каждого типа и определить, сколько способов это сделать.
- Тройка: 4 варианта (4 тройки).
- Семерка: 4 варианта.
- Туз: 4 варианта.
Общее число способов:
[
4 \times 4 \times 4=64
]
9. Шестизначные числа, цифры которых — нечетные (1,3,5,7,9)
Все цифры — нечетные, используется только эти 5 цифр без повторений:
- Первое число: 5 вариантов.
- Второе: 4 варианта.
- Далее: 3, 2, 1.
Общее:
[
5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 5! = 120
]
10. Распределение 8 девушек по двум лодкам
В меньшую лодку — не более 4 человек, в большую — не более 6.
Заранее отметим:
- Образцы: 0 до 4 человек в меньшей лодке, остальные — в большей.
- Отличие в том, что девушки могут располагаться в любые комбинации, при этом различая лодки.
Рассчитаем число способов для каждой возможной численности в меньшей лодке:
[
\sum_{k=0}^{4} \binom{8}{k}
]
где (k) — число девушек в меньшей лодке.
Но так как девушки различны, то для каждого (k) — количество способов выбрать (k) девочек в лодку:
[
\sum_{k=0}^{4} \binom{8}{k}
]
и оставшиеся — идут в другую лодку.
Итого:
[
\sum_{k=0}^{4} \binom{8}{k}
]
вычислим сумму:
[
\binom{8}{0} + \binom{8}{1} + \binom{8}{2} + \binom{8}{3} + \binom{8}{4} = 1 + 8 + 28 + 56 + 70 = 163
]
11. Выбор двух изделий одного сорта
- Из 20 изделий I-го сорта можно выбрать 2: (\binom{20}{2}).
- Из 30 изделий II-го сорта — тоже (\binom{30}{2}).
Общий вариант — сумма этих двух:
[
\binom{20}{2} + \binom{30}{2} = 190 + 435 = \boxed{625}
]
12. Выбор троих футболистов из 11
Без учета порядка — сочетание:
[
C_{11}^3 = \frac{11!}{3! \times 8!} = 165
]
13. Комплектация хоккейной команды
Задача: выбрать
- 1 вратаря из 2
- 2 защитника из 5 (без повторений)
- 3 нападающих из 8
Количество вариантов: произведение:
[
2 \times \binom{5}{2} \times \binom{8}{3}
]
Вычислим:
[
\binom{5}{2} = 10,\quad \binom{8}{3} = 56
]
Общая:
[
2 \times 10 \times 56=1120
]
14. Трехзначные числа, делящиеся на 57
Найдём все числа от 100 до 999, делящиеся на 57:
Первое число — минимальное ≥100, делящееся на 57:
[
\frac{100}{57} \approx 1.75 \Rightarrow 2 \quad \Rightarrow 2 \times 57=114
]
Последнее число ≤999:
[
\frac{999}{57} \approx 17.5 \Rightarrow 17 \times 57=969
]
Количество: от 2 до 17, то есть 16 чисел.
Ответ: 16
15. Взять двух котов на руки
Имеются 4 кота, нужно выбрать двух и определить, кто — левый, кто — правый:
- Выбираем двух котов из 4: (\binom{4}{2} = 6).
- Для каждого выбранного варианта возможны 2 порядка (кто на левом, кто на правом).
Итого:
[
6 \times 2 = \boxed{12}
]
16. Расписание дежурств из 6 студентов
Количество способов — перестановка 6 человек:
[
6! = 720
]
17. Разделение 20 студентов на 3 бригады
- В первую бригаду — 3 человека,
- во вторую — 5 человек,
- остальные — в третью.
Количество вариантов:
[
\frac{20!}{3! \times 5! \times 12!}
]
или по последовательным выборам:
[
\binom{20}{3} \times \binom{17}{5} \times \binom{12}{12} = 1140 \times 6188 \times 1 = 7,054,320
]
18. Расположение 5 бегунов с условием
Общее число перестановок — (5! = 120).
Найти число расположений, где бегуны из Голландии и Англии (Предположим, это два из 5) не стоят рядом:
Всего перестановок: 120.
Количество, где Г и А рядом — считается как один блок (Г + А), внутри блока — 2! способов его переставлять.
Общий блок:
- Теперь у нас остается 4 элемента: блок + остальные 3 бегуна, всего 4 элемента.
Количество перестановок:
[
4! \times 2! = 24 \times 2=48
]
Следовательно, число вариантов, где Г и А не стоят рядом:
[
120 - 48 = \boxed{72}
]
19. Расположение львов и тигров без двух тигров подряд
Общее число способов — перестановка из 5 львов и 4 тигров так, чтобы тигры не шли друг за другом:
Параметры:
- Кол-во промежутков между львами — 6, из них нужно выбрать 4 — для тигров без совпадений (чтобы не шли подряд):
[
\binom{6}{4} = 15
]
- Тогда — количество способов расставить тигров в эти выбранные места:
Перестановка тигров — 4! = 24.
Общее число — это произведение:
[
15 \times 24 = 360
]
20. Выбор 5 цветов из 24, включающих 3 розы
- Берем 3 розы из 15: (\binom{15}{3}).
- Остальные — из гвоздик (9): выбираем 2: (\binom{9}{2}).
Общее число:
[
\binom{15}{3} \times \binom{9}{2} = 455 \times 36 = 16,380
]
Если нужно более подробно по какому-то из вопросов, я готов помочь!
