Реши уравнение 9x²+24x+16=(x-2)²
Давайте подробно решим уравнение:
\[ 9x^2 + 24x + 16 = (x - 2)^2 \]
Шаг 1: Раскроем скобки справа
В правой части у нас квадрат разности, раскроем его по формуле:
\[ (a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2 \]
Это даст:
\[ (x - 2)^2 = x^2 - 4x + 4 \]
Теперь уравнение выглядит так:
\[ 9x^2 + 24x + 16 = x^2 - 4x + 4 \]
Шаг 2: Перенесем все в одну сторону
Перенесем всё из правой части в левую, чтобы получить уравнение равное нулю:
\[ 9x^2 + 24x + 16 - x^2 + 4x - 4 = 0 \]
Объединим подобные слагаемые:
\[ (9x^2 - x^2) + (24x + 4x) + (16 - 4) = 0 \]
Это даёт:
\[ 8x^2 + 28x + 12 = 0 \]
Шаг 3: Упростим уравнение
Все коэффициенты можно разделить на 4, чтобы упростить уравнение:
\[ 2x^2 + 7x + 3 = 0 \]
Шаг 4: Решим квадратное уравнение
Используем формулу для решения квадратного уравнения:
\[ ax^2 + bx + c = 0 \]
Где:
\[ a = 2, \quad b = 7, \quad c = 3 \]
Дискриминант (\(D\)):
\[ D = b^2 - 4ac = 7^2 - 4 \cdot 2 \cdot 3 = 49 - 24 = 25 \]
Поскольку дискриминант положителен, уравнение имеет два решения:
\[ x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} \]
Подставим значения:
\[ x_{1,2} = \frac{-7 \pm \sqrt{25}}{2 \cdot 2} = \frac{-7 \pm 5}{4} \]
Шаг 5: Найдём решения
Первое решение:
\[ x_1 = \frac{-7 + 5}{4} = \frac{-2}{4} = -\frac{1}{2} \]Второе решение:
\[ x_2 = \frac{-7 - 5}{4} = \frac{-12}{4} = -3 \]
Итог:
Ответ:
\[
\boxed{
x = -\frac{1}{2} \quad \text{или} \quad x = -3
}
\]
Если есть ещё вопросы — спрашивайте!
