От острова, расположенного в 2,1 км от пристани, отходит катер. До тех пор, пока катер не подойдёт к пристани, его расстояние до неё описывается формулой 2 ( ) 2,1 20 10s t t t= + − , где s − расстояние в километрах, t − время в часах, прошедшее с момента отплытия. Зона видимо- сти наблюдателя, находящегося в бухте, составляет 5,7 км. Сколько всего времени катер будет находиться в зоне видимости наблюдателя, пока не подойдёт к пристани? Ответ дайте в часа

Дано: - Начальное расстояние от острова до пристани: \( 2,1 \) км. - Расстояние катера до пристани через время \( t \): \( s(t) = 2,1 + 20t - 10t^2 \). - Зона видимости наблюдателя: \( 5,7 \) км. - Нужно найти время, когда катер будет находиться в зоне видимости, то есть, когда \( s(t) \leq 5,7 \). --- ### Шаг 1. Найти моменты времени, когда катер входит и выходит из зоны видимости Поскольку катер движется, и его расстояние от пристани меняется по формуле: \[ s(t) = 2,1 + 20t - 10t^2 \] Нас интересуют моменты, когда: \[ s(t) = 5,7 \] Это условие для переменных \( t \). Подставим: \[ 2,1 + 20t - 10t^2 = 5,7 \] --- ### Шаг 2. Решить квадратичное уравнение Перенесем все в левую часть: \[ -10t^2 + 20t + 2,1 - 5,7 = 0 \] Вычитая: \[ -10t^2 + 20t - 3,6 = 0 \] Чтобы упростить уравнение, умножим обе части на \(-1\): \[ 10t^2 - 20t + 3,6 = 0 \] Далее, сократим уравнение на 2 для удобства: \[ 5t^2 - 10t + 1,8 = 0 \] --- ### Шаг 3. Найти корни уравнения Используем формулу квадратичных уравнений: \[ t = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \] Здесь: - \(a=5\), - \(b=-10\), - \(c=1,8\). Подставим: \[ t = \frac{-(-10) \pm \sqrt{(-10)^2 - 4 \times 5 \times 1,8}}{2 \times 5} \] \[ t = \frac{10 \pm \sqrt{100 - 36}}{10} \] \[ t = \frac{10 \pm \sqrt{64}}{10} \] \[ t = \frac{10 \pm 8}{10} \] Получаем два корня: 1. \( t_1 = \frac{10 - 8}{10} = \frac{2}{10} = 0,2 \) часа, 2. \( t_2 = \frac{10 + 8}{10} = \frac{18}{10} = 1,8 \) часа. --- ### Шаг 4. Определить интервал нахождения катера в зоне видимости Катер заходит в зону видимости при \( t = 0,2 \) часов и выходит — при \( t = 1,8 \) часов. Так как функция \( s(t) \) — парабола, открытая вниз (коэффициент \(-10\)), то расстояние сначала увеличивается, достигает максимума, а затем уменьшается. Однако для данной задачи нас интересует период, когда \( s(t) \leq 5,7 \), то есть когда катер в зоне видимости. Поскольку максимальное расстояние — это вершина параболы, найдем вершину. --- ### Шаг 5. Найти вершину параболы \( s(t) \) Вершина параболы \( s(t) = 2,1 + 20t - 10t^2 \) находится по формуле: \[ t_{вершина} = -\frac{b}{2a} = -\frac{20}{2 \times (-10)} = -\frac{20}{-20} = 1 \text{ час} \] Подставим \( t=1 \): \[ s(1) = 2,1 + 20 \times 1 - 10 \times 1^2 = 2,1 + 20 - 10 = 12,1 \text{ км} \] Максимальное расстояние — 12,1 км, и оно превышает зону видимости (5,7 км). Значит, катер входит в зону, когда \( s(t) = 5,7 \), и покидает — в тот момент, когда расстояние уменьшается обратно до 5,7 км. --- ### **Ответ:** Катер находится в зоне видимости наблюдателя с момента, когда \( s(t) \) впервые ≤ 5,7 km, и до тех пор, пока \( s(t) \) снова не превысит 5,7 km, то есть в интервал с \( t=0,2 \) по \( t=1,8 \) часа. ### Итог: **Общее время нахождения катера в зоне видимости:** \[ \boxed{1,8 - 0,2 = 1,6 \text{ часа}} \] --- ### **Ответ: 1,6 часа.**