От острова, расположенного в 2,1 км от пристани, отходит катер. До тех пор, пока катер не подойдёт к пристани, его расстояние до неё описывается формулой 2 ( ) 2,1 20 10s t t t= +…
От острова, расположенного в 2,1 км от пристани, отходит катер. До тех пор, пока катер не подойдёт к пристани, его расстояние до неё описывается формулой 2 ( ) 2,1 20 10s t t t= + − , где s − расстояние в километрах, t − время в часах, прошедшее с момента отплытия. Зона видимо- сти наблюдателя, находящегося в бухте, составляет 5,7 км. Сколько всего времени катер будет находиться в зоне видимости наблюдателя, пока не подойдёт к пристани? Ответ дайте в часа
Дано:
- Начальное расстояние от острова до пристани: \( 2,1 \) км.
- Расстояние катера до пристани через время \( t \): \( s(t) = 2,1 + 20t - 10t^2 \).
- Зона видимости наблюдателя: \( 5,7 \) км.
- Нужно найти время, когда катер будет находиться в зоне видимости, то есть, когда \( s(t) \leq 5,7 \).
Шаг 1. Найти моменты времени, когда катер входит и выходит из зоны видимости
Поскольку катер движется, и его расстояние от пристани меняется по формуле:
\[ s(t) = 2,1 + 20t - 10t^2 \]
Нас интересуют моменты, когда:
\[ s(t) = 5,7 \]
Это условие для переменных \( t \).
Подставим:
\[ 2,1 + 20t - 10t^2 = 5,7 \]
Шаг 2. Решить квадратичное уравнение
Перенесем все в левую часть:
\[ -10t^2 + 20t + 2,1 - 5,7 = 0 \]
Вычитая:
\[ -10t^2 + 20t - 3,6 = 0 \]
Чтобы упростить уравнение, умножим обе части на \(-1\):
\[ 10t^2 - 20t + 3,6 = 0 \]
Далее, сократим уравнение на 2 для удобства:
\[ 5t^2 - 10t + 1,8 = 0 \]
Шаг 3. Найти корни уравнения
Используем формулу квадратичных уравнений:
\[ t = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \]
Здесь:
- \(a=5\),
- \(b=-10\),
- \(c=1,8\).
Подставим:
\[ t = \frac{-(-10) \pm \sqrt{(-10)^2 - 4 \times 5 \times 1,8}}{2 \times 5} \]
\[ t = \frac{10 \pm \sqrt{100 - 36}}{10} \]
\[ t = \frac{10 \pm \sqrt{64}}{10} \]
\[ t = \frac{10 \pm 8}{10} \]
Получаем два корня:
- \( t_1 = \frac{10 - 8}{10} = \frac{2}{10} = 0,2 \) часа,
- \( t_2 = \frac{10 + 8}{10} = \frac{18}{10} = 1,8 \) часа.
Шаг 4. Определить интервал нахождения катера в зоне видимости
Катер заходит в зону видимости при \( t = 0,2 \) часов и выходит — при \( t = 1,8 \) часов. Так как функция \( s(t) \) — парабола, открытая вниз (коэффициент \(-10\)), то расстояние сначала увеличивается, достигает максимума, а затем уменьшается. Однако для данной задачи нас интересует период, когда \( s(t) \leq 5,7 \), то есть когда катер в зоне видимости.
Поскольку максимальное расстояние — это вершина параболы, найдем вершину.
Шаг 5. Найти вершину параболы \( s(t) \)
Вершина параболы \( s(t) = 2,1 + 20t - 10t^2 \) находится по формуле:
\[ t_{вершина} = -\frac{b}{2a} = -\frac{20}{2 \times (-10)} = -\frac{20}{-20} = 1 \text{ час} \]
Подставим \( t=1 \):
\[ s(1) = 2,1 + 20 \times 1 - 10 \times 1^2 = 2,1 + 20 - 10 = 12,1 \text{ км} \]
Максимальное расстояние — 12,1 км, и оно превышает зону видимости (5,7 км). Значит, катер входит в зону, когда \( s(t) = 5,7 \), и покидает — в тот момент, когда расстояние уменьшается обратно до 5,7 км.
Ответ:
Катер находится в зоне видимости наблюдателя с момента, когда \( s(t) \) впервые ≤ 5,7 km, и до тех пор, пока \( s(t) \) снова не превысит 5,7 km, то есть в интервал с \( t=0,2 \) по \( t=1,8 \) часа.
Итог:
Общее время нахождения катера в зоне видимости:
\[ \boxed{1,8 - 0,2 = 1,6 \text{ часа}} \]
