В прямоугольном треугольнике АВС с гипотенузой АВ и А = 60° проведена высота СН. Найдите ВН, если АН = 6 см

Давайте разберем задачу по шагам. В условии есть прямоугольный треугольник АВС с гипотенузой АВ и угол А = 60°. В нем проведена высота СН, опущенная из вершины С на гипотенузу АВ. Также дано, что АН = 6 см, и требуется найти ВН.

Обозначим:

• угол А — 60°
• \( АН = 6 \) см
• Высота СН делит гипотенузу АВ на отрезки АН и ВН.

Шаг 1. Определим известные и неизвестные стороны и углы

Поскольку треугольник АВС прямоугольный и \( \angle А = 60^\circ \), то:

• \( \angle В = 30^\circ \),
• \( \angle С = 90^\circ \).

Это треугольник с углами 30°, 60°, 90°.

Шаг 2. Свойства 30°-60°-90° треугольника

В таком треугольнике стороны соотносятся следующим образом:

• гипотенуза — удвоенная кратная меньшей стороне;
• катет, противолежащий 30°, — \( \frac{1}{2} \) гипотенузы;
• катет, противолежащий 60°, — \( \frac{\sqrt{3}}{2} \) гипотенузы.

Пусть:

• гипотенуза \( AB = c \),
• катет против 30° — \( BC = a \),
• катет против 60° — \( AC = b \).

Тогда:

• \( a = \frac{c}{2} \),
• \( b = \frac{\sqrt{3}}{2} c \).

Шаг 3. Определение длины гипотенузы \( AB \)

Известно, что \( AN \) — часть гипотенузы \( AB \), и \( AN = 6 \) см.

Высота СН, опущенная из вершины С на гипотенузу AB, делит гипотенузу на два отрезка:

• \( AN \),
• \( BN \).

Из свойств высоты в прямоугольном треугольнике:

• высота \( CH \) разбивает гипотенузу на два отрезка, пропорциональных прилежащим катетам.

В частности: \[ \frac{AN}{BN} = \frac{AC^2}{BC^2} \] или \[ \frac{AN}{BN} = \left(\frac{AC}{BC}\right)^2 \]

Значит, если обозначить:

• \( AN = 6 \),
• \( BN = x \),
• зная соотношение катетов, можем выразить \( AC \) и \( BC \).

Шаг 4. Выразим \( AC \) и \( BC \)

Из свойств треугольника:

• \( AC = \frac{\sqrt{3}}{2} c \),
• \( BC = \frac{1}{2} c \).

Следовательно: \[ \frac{AN}{BN} = \left(\frac{\frac{\sqrt{3}}{2} c}{\frac{1}{2} c}\right)^2 = (\sqrt{3})^2 = 3 \]

Из этого получаем: \[ \frac{6}{x} = 3 \Rightarrow x = 2 \]

Значит, длина отрезка \( BN = 2 \) см.

Ответ:

\[ \boxed{BN = 2\, \text{см}} \]

Если есть дополнительные вопросы или нужно объяснить подробнее, скажите!