В прямоугольном треугольнике АВС с гипотенузой АВ и А = 60° проведена высота СН. Найдите ВН, если АН = 6 см

Давайте разберем задачу по шагам. В условии есть прямоугольный треугольник АВС с гипотенузой АВ и угол А = 60°. В нем проведена высота СН, опущенная из вершины С на гипотенузу АВ. Также дано, что АН = 6 см, и требуется найти ВН. Обозначим: - угол А — 60° - \( АН = 6 \) см - Высота СН делит гипотенузу АВ на отрезки АН и ВН. --- ### Шаг 1. Определим известные и неизвестные стороны и углы Поскольку треугольник АВС прямоугольный и \( \angle А = 60^\circ \), то: - \( \angle В = 30^\circ \), - \( \angle С = 90^\circ \). Это треугольник с углами 30°, 60°, 90°. --- ### Шаг 2. Свойства 30°-60°-90° треугольника В таком треугольнике стороны соотносятся следующим образом: - гипотенуза — удвоенная кратная меньшей стороне; - катет, противолежащий 30°, — \( \frac{1}{2} \) гипотенузы; - катет, противолежащий 60°, — \( \frac{\sqrt{3}}{2} \) гипотенузы. Пусть: - гипотенуза \( AB = c \), - катет против 30° — \( BC = a \), - катет против 60° — \( AC = b \). Тогда: - \( a = \frac{c}{2} \), - \( b = \frac{\sqrt{3}}{2} c \). --- ### Шаг 3. Определение длины гипотенузы \( AB \) Известно, что \( AN \) — часть гипотенузы \( AB \), и \( AN = 6 \) см. Высота СН, опущенная из вершины С на гипотенузу AB, делит гипотенузу на два отрезка: - \( AN \), - \( BN \). Из свойств высоты в прямоугольном треугольнике: - высота \( CH \) разбивает гипотенузу на два отрезка, пропорциональных прилежащим катетам. В частности: \[ \frac{AN}{BN} = \frac{AC^2}{BC^2} \] или \[ \frac{AN}{BN} = \left(\frac{AC}{BC}\right)^2 \] Значит, если обозначить: - \( AN = 6 \), - \( BN = x \), - зная соотношение катетов, можем выразить \( AC \) и \( BC \). --- ### Шаг 4. Выразим \( AC \) и \( BC \) Из свойств треугольника: - \( AC = \frac{\sqrt{3}}{2} c \), - \( BC = \frac{1}{2} c \). Следовательно: \[ \frac{AN}{BN} = \left(\frac{\frac{\sqrt{3}}{2} c}{\frac{1}{2} c}\right)^2 = (\sqrt{3})^2 = 3 \] Из этого получаем: \[ \frac{6}{x} = 3 \Rightarrow x = 2 \] Значит, длина отрезка \( BN = 2 \) см. --- ### **Ответ:** \[ \boxed{BN = 2\, \text{см}} \] --- Если есть дополнительные вопросы или нужно объяснить подробнее, скажите!