Сторона ромба 130 диагональ 100 найти радиус вписанной окружности

Давайте разберём задачу подробно. **Задача:** Дана сторона ромба \( a = 130 \), диагональ \( d_1 = 100 \). Нужно найти радиус вписанной окружности \( r \). --- ### Шаг 1. Определим свойства ромба - В ромбе все стороны равны, то есть \( AB = BC = CD = DA = 130 \). - Диагонали пересекаются в одной точке и делят друг друга пополам. Пусть диагональ \( d_1 = 100 \) — это одна из диагоналей. ### Шаг 2. Обозначим известные данные - Сторона ромба: \( a = 130 \) - Диагональ: \( d = 100 \) Рассмотрим диагональ как \( d_1 = 100 \). Обозначим вторую диагональ как \( d_2 \). ### Шаг 3. Связь диагоналей в ромбе Диагонали пересекаются под прямым углом и делятся пополам. Пусть точка пересечения — \( O \). Тогда: \[ AO = \frac{d_1}{2} = 50, \quad BO = \frac{d_2}{2} \] Рассмотрим треугольник, образованный половиной диагонали и стороной. Нам нужно вычислить \( d_2 \). ### Шаг 4. Используем свойство ромба — диагонали перпендикулярны В ромбе диагонали перпендикулярны и делят друг друга пополам. Рассмотрим треугольник \( AOB \) — половину ромба, где: - \( AO = 50 \) - \( BO = \frac{d_2}{2} \) - \( AB = 130 \) Этот треугольник является прямоугольным (по свойству диагоналей ромба). По теореме Пифагора: \[ AB^2 = AO^2 + BO^2 \] Подставим значения: \[ 130^2 = 50^2 + \left(\frac{d_2}{2}\right)^2 \] \[ 16900 = 2500 + \frac{d_2^2}{4} \] Вычитаем \( 2500 \): \[ 16900 - 2500 = \frac{d_2^2}{4} \] \[ 14400 = \frac{d_2^2}{4} \] Умножим обе части на 4: \[ 57600 = d_2^2 \] \[ d_2 = \sqrt{57600} = 240 \] Итак, вторая диагональ: \( d_2 = 240 \). --- ### Шаг 5. Найдём площадь ромба Площадь ромба можно найти через диагонали: \[ S = \frac{1}{2} d_1 d_2 \] Подставляем: \[ S = \frac{1}{2} \times 100 \times 240 = 50 \times 240 = 12000 \] --- ### Шаг 6. Найдём радиус вписанной окружности \( r \) Формула для радиуса вписанной окружности в многоугольнике — это его радиус вписанной окружности в многоугольнике, который обладает свойством: \[ r = \frac{S}{p} \] где \( S \) — площадь, \( p \) — полупериметр. Периметр ромба: \[ P = 4a = 4 \times 130 = 520 \] Полупериметр: \[ p = \frac{P}{2} = 260 \] Теперь подставим в формулу: \[ r = \frac{S}{p} = \frac{12000}{260} \approx 46.15 \] --- ### **Ответ:** **Радиус вписанной окружности \( r \) примерно равен \(\boxed{46.15}\)**. Если нужны более точные значения или дополнительные объяснения — спрашивайте!