4. Период полураспада радиоактивного изотопа цезия 133Cs составляет 30 лет. Первоначально было 4-1016 атомов цезия, то сколько их будет через 90 лет?
Давайте решим задачу пошагово и подробно объясним каждый этап.
Дано:
- Период полураспада радиоактивного изотопа цезия \( T_{1/2} = 30 \) лет
- Изначальное количество атомов \( N_0 = 4 \times 10^{16} \)
- Время, через которое нужно найти количество атомов: \( t = 90 \) лет
Шаг 1: Запишем основные формулы радиоактивного распада
Количество атомов после времени \( t \) выражается формулой: \[ N(t) = N_0 \times \left( \frac{1}{2} \right)^{\frac{t}{T_{1/2}}} \]
Эта формула показывает, сколько атомов осталось через время \( t \), если период полураспада \( T_{1/2} \) известен.
Шаг 2: Подставим известные значения в формулу
Подставим наши параметры:
\[ N(90) = 4 \times 10^{16} \times \left( \frac{1}{2} \right)^{\frac{90}{30}} \]
Выразим степень:
\[ \frac{90}{30} = 3 \]
Значит:
\[ N(90) = 4 \times 10^{16} \times \left( \frac{1}{2} \right)^3 \]
Шаг 3: Вычислим \(\left( \frac{1}{2} \right)^3\)
\[ \left( \frac{1}{2} \right)^3 = \frac{1}{2^3} = \frac{1}{8} \]
Шаг 4: Выполним окончательные вычисления
Подставим обратно:
\[ N(90) = 4 \times 10^{16} \times \frac{1}{8} \]
Рассчитаем:
\[ N(90) = \frac{4}{8} \times 10^{16} = 0.5 \times 10^{16} = 5 \times 10^{15} \]
Ответ:
Через 90 лет останется примерно \( \boxed{5 \times 10^{15}} \) атомов цезия.
