17. Дан параллелограмм A B C D ABCD , площадь которого равна 154 154 . Отрезок A E AE делит сторону B C BC пополам. Найди площадь четырёхугольника A E C D AECD .
Давайте подробно разберём задачу и найдём ответ.
Дано:
- Параллелограмм ABCD, площадь = 154.
- Отрезок AE делит сторону BC пополам, то есть E — середина стороны BC.
- Требуется найти площадь трапеции AECD.
Шаг 1. Построение и обозначения
Обозначим:
- В параллелограмме ABCD стороны AB и DC — параллельны и равны.
- E — середина BC.
Нам нужно найти площадь четырехугольника AECD.
Шаг 2. Введение координат
Для удобства возьмём систему координат:
- Пусть точка A находится в начале системы: A(0,0).
- Пусть сторона AD лежит по оси y, а сторона AB — по оси x.
- Тогда:
\[ D(0,h), \quad C(b,h), \quad B(b,0), \quad A(0,0) \]
где:
- \( b \) — длина AB (или BC),
- \( h \) — высота параллелограмма.
Площадь параллелограмма:
\[ S = b \times h = 154 \]
Шаг 3. Координаты точки E
E — середина BC:
\[ B(b,0), \quad C(b,h) \]
Тогда:
\[ E=\left( \frac{b+b}{2}, \frac{0+h}{2} \right) = (b, \frac{h}{2}) \]
Шаг 4. Нахождение точки A и E
- A(0,0),
- E(b, h/2).
Задача — найти площадь многоугольника A E C D. Этот многоугольник состоит из четырёх точек:
- \( A(0,0) \),
- \( E(b, h/2) \),
- \( C(b, h) \),
- \( D(0, h) \).
Шаг 5. Построение многоугольника и вычисление площади
Рассмотрим многоугольник AECD.
Порядок обхода точек: A → E → C → D → A.
Используя формулу площади многоугольника по координатам (формула Гаусса):
\[ S = \frac{1}{2} \left| x_A y_E + x_E y_C + x_C y_D + x_D y_A - ( y_A x_E + y_E x_C + y_C x_D + y_D x_A ) \right| \]
Подставим координаты:
\[ x_A=0, y_A=0 \] \[ x_E=b, y_E=\frac{h}{2} \] \[ x_C=b, y_C=h \] \[ x_D=0, y_D=h \]
Вычислим:
\[ S = \frac{1}{2} | (0 \times \frac{h}{2}) + (b \times h) + (b \times h) + (0 \times 0) - (0 \times b + \frac{h}{2} \times b + h \times 0 + h \times 0) | \]
Упростим:
\[ S = \frac{1}{2} | 0 + b h + b h + 0 - (0 + \frac{h}{2} b + 0 + 0) | = \frac{1}{2} | 2 b h - \frac{h}{2} b | \]
Вынесем \(b h\):
\[ S = \frac{1}{2} | 2 b h - \frac{b h}{2} | = \frac{1}{2} \left| \frac{4 b h - b h}{2} \right| = \frac{1}{2} \times \frac{3 b h}{2} = \frac{3 b h}{4} \]
Шаг 6. Используем известное значение площади параллелограмма
Так как мы знаем, что:
\[ b \times h = 154 \]
следовательно,
\[ S_{AECD} = \frac{3}{4} \times b \times h = \frac{3}{4} \times 154 = \frac{3 \times 154}{4} \]
Посчитаем:
\[ \frac{3 \times 154}{4} = \frac{462}{4} = 115.5 \]
Ответ:
Площадь четырехугольника AECD равна 115.5.
