17. Дан параллелограмм  A B C D ABCD, площадь которого равна  154 154. Отрезок  A E AE делит сторону  B C BC пополам. Найди площадь четырёхугольника  A E C D AECD.

Давайте подробно разберём задачу и найдём ответ. **Дано:** - Параллелограмм ABCD, площадь = 154. - Отрезок AE делит сторону BC пополам, то есть E — середина стороны BC. - Требуется найти площадь трапеции AECD. --- ### Шаг 1. Построение и обозначения Обозначим: - В параллелограмме ABCD стороны AB и DC — параллельны и равны. - E — середина BC. Нам нужно найти площадь четырехугольника AECD. --- ### Шаг 2. Введение координат Для удобства возьмём систему координат: - Пусть точка A находится в начале системы: A(0,0). - Пусть сторона AD лежит по оси y, а сторона AB — по оси x. - Тогда: \[ D(0,h), \quad C(b,h), \quad B(b,0), \quad A(0,0) \] где: - \( b \) — длина AB (или BC), - \( h \) — высота параллелограмма. **Площадь параллелограмма:** \[ S = b \times h = 154 \] --- ### Шаг 3. Координаты точки E E — середина BC: \[ B(b,0), \quad C(b,h) \] Тогда: \[ E=\left( \frac{b+b}{2}, \frac{0+h}{2} \right) = (b, \frac{h}{2}) \] --- ### Шаг 4. Нахождение точки A и E - A(0,0), - E(b, h/2). Задача — найти площадь многоугольника A E C D. Этот многоугольник состоит из четырёх точек: - \( A(0,0) \), - \( E(b, h/2) \), - \( C(b, h) \), - \( D(0, h) \). --- ### Шаг 5. Построение многоугольника и вычисление площади Рассмотрим многоугольник AECD. Порядок обхода точек: A → E → C → D → A. Используя формулу площади многоугольника по координатам (формула Гаусса): \[ S = \frac{1}{2} \left| x_A y_E + x_E y_C + x_C y_D + x_D y_A - ( y_A x_E + y_E x_C + y_C x_D + y_D x_A ) \right| \] Подставим координаты: \[ x_A=0, y_A=0 \] \[ x_E=b, y_E=\frac{h}{2} \] \[ x_C=b, y_C=h \] \[ x_D=0, y_D=h \] Вычислим: \[ S = \frac{1}{2} | (0 \times \frac{h}{2}) + (b \times h) + (b \times h) + (0 \times 0) - (0 \times b + \frac{h}{2} \times b + h \times 0 + h \times 0) | \] Упростим: \[ S = \frac{1}{2} | 0 + b h + b h + 0 - (0 + \frac{h}{2} b + 0 + 0) | = \frac{1}{2} | 2 b h - \frac{h}{2} b | \] Вынесем \(b h\): \[ S = \frac{1}{2} | 2 b h - \frac{b h}{2} | = \frac{1}{2} \left| \frac{4 b h - b h}{2} \right| = \frac{1}{2} \times \frac{3 b h}{2} = \frac{3 b h}{4} \] ### Шаг 6. Используем известное значение площади параллелограмма Так как мы знаем, что: \[ b \times h = 154 \] следовательно, \[ S_{AECD} = \frac{3}{4} \times b \times h = \frac{3}{4} \times 154 = \frac{3 \times 154}{4} \] Посчитаем: \[ \frac{3 \times 154}{4} = \frac{462}{4} = 115.5 \] --- ### **Ответ:** **Площадь четырехугольника AECD равна 115.5.**