3/x=x+2
Рассмотрим задачу: \(\frac{3}{x} = x + 2\)
Цель — понять решение, поэтому я подробно объясню каждый шаг.
Шаг 1. Запишем уравнение:
\[ \frac{3}{x} = x + 2 \]
Шаг 2. Избавимся от дроби
Чтобы устранить дробь, умножим обе части уравнения на \(x\). Это поможет избавиться от знаменателя.
Важно помнить, что \(x\) не равно 0, поскольку деление на 0 невозможно.
Получаем:
\[ x \times \frac{3}{x} = x \times (x + 2) \]
Что упрощается до:
\[ 3 = x(x + 2) \]
Шаг 3. Раскроем скобки
Теперь раскроем скобки с помощью распределительного свойства:
\[ 3 = x^2 + 2x \]
Шаг 4. Перенесем все в одну сторону
Чтобы решить уравнение, сделаем его уравнением квадратной формы:
\[ x^2 + 2x - 3 = 0 \]
Теперь у нас квадратичное уравнение.
Шаг 5. Решаем квадратное уравнение
Для решения используем формулу или факторизацию.
Первый способ — попробовать разложить на множители:
Ищем два числа, которые:
- умножаются на \(-3\)
- складываются в \(2\)
Такими числами будут 3 и -1, потому что:
\[ 3 \times (-1) = -3 \]
и
\[ 3 + (-1) = 2 \]
Значит, уравнение можно записать как:
\[ (x + 3)(x - 1) = 0 \]
Шаг 6. Находим корни
Это уравнение нулю при выполнении одного из множителей:
\[ x + 3 = 0 \quad \Rightarrow \quad x = -3 \] или \[ x - 1 = 0 \quad \Rightarrow \quad x = 1 \]
Шаг 7. Проверка решений
Нужно проверить, чтобы эти решения не обращались к делению на 0 в исходном уравнении.
При \(x = -3\): знаменатель \(\frac{3}{x}\) равен \(\frac{3}{-3} = -1\), что допустимо.
При \(x = 1\): знаменатель \(\frac{3}{1} = 3\), также допустимо.
Оба решения допустимы.
Ответ:
\[ \boxed{ x = -3 \quad \text{или} \quad x = 1 } \]
Если есть вопросы по какому-либо шагу — спрашивайте!
