Реши задачу Мошенники завладели пластиковой картой, найденной в гипермаркете. Какова вероятность того, что они взломают пин код карты, если известно, что после третьей попытки…

Рассмотрим задачу поэтапно.

Условия задачи:

• Пин-код состоит из 4 цифр, каждая цифра — от 0 до 9 (десятичные цифры).
• После 3 неудачных попыток карту блокируют.
• У злоумышленников было 40 попыток.
• Нужно найти вероятность того, что они взломают пин-код за 40 попыток, то есть угадают его хотя бы один раз.

Шаг 1: Общее количество возможных комбинаций пин-кода

Пин-код из 4 цифр, каждая — от 0 до 9.

Количество комбинаций:
\[ 10^4 = 10,000 \]

Шаг 2: Вероятность неудачи после одной попытки

Если злоумышленник выбирает случайный код, то вероятность, что он не угадал конкретный пин-код:

\[ P_{не угадает} = \frac{9999}{10000} = 1 - \frac{1}{10000} \]

Шаг 3: Вероятность не угадывать за 40 попыток

Чтобы не угадать ни одного раза за 40 попыток подряд (в предположении, что все попытки — независимы и случайны), нужна вероятность:

\[ P_{не угадает за 40 попыток} = \left( \frac{9999}{10000} \right)^{40} \]

Шаг 4: Вероятность хотя бы одного удачного угадывания

Это искомая вероятность того, что злоумышленник угадает пин-код хотя бы один раз:

\[ P_{успех} = 1 - P_{не угадает за 40 попыток} = 1 - \left( \frac{9999}{10000} \right)^{40} \]

Шаг 5: Вычисление числового значения

Можно сказать приблизительно:

\[ P_{успех} \approx 1 - \left(1 - \frac{1}{10000}\right)^{40} \]

Для очень маленького числа \(\frac{1}{10000}\), используем приближение для экспоненты:

\[ \left(1 - \frac{1}{10000}\right)^{40} \approx e^{-\frac{40}{10000}} = e^{-0.004} \]

Расчет:

\[ e^{-0.004} \approx 1 - 0.004 + \frac{0.004^2}{2} \approx 1 - 0.004 + 0.000008 = 0.996008 \]

Следовательно, вероятность успеха:

\[ P_{успех} \approx 1 - 0.996008 = 0.003992 \]

или около 0.399%.

Итог:

Вероятность того, что мошенники взломают пин-код за 40 попыток, примерно 0.4%.