Рассмотрим задачу поэтапно.
Условия задачи:
- Пин-код состоит из 4 цифр, каждая цифра — от 0 до 9 (десятичные цифры).
- После 3 неудачных попыток карту блокируют.
- У злоумышленников было 40 попыток.
- Нужно найти вероятность того, что они взломают пин-код за 40 попыток, то есть угадают его хотя бы один раз.
Шаг 1: Общее количество возможных комбинаций пин-кода
Пин-код из 4 цифр, каждая — от 0 до 9.
Количество комбинаций:
[
10^4 = 10,000
]
Шаг 2: Вероятность неудачи после одной попытки
Если злоумышленник выбирает случайный код, то вероятность, что он не угадал конкретный пин-код:
[
P_{не угадает} = \frac{9999}{10000} = 1 - \frac{1}{10000}
]
Шаг 3: Вероятность не угадывать за 40 попыток
Чтобы не угадать ни одного раза за 40 попыток подряд (в предположении, что все попытки — независимы и случайны), нужна вероятность:
[
P_{не угадает за 40 попыток} = \left( \frac{9999}{10000} \right)^{40}
]
Шаг 4: Вероятность хотя бы одного удачного угадывания
Это искомая вероятность того, что злоумышленник угадает пин-код хотя бы один раз:
[
P_{успех} = 1 - P_{не угадает за 40 попыток} = 1 - \left( \frac{9999}{10000} \right)^{40}
]
Шаг 5: Вычисление числового значения
Можно сказать приблизительно:
[
P_{успех} \approx 1 - \left(1 - \frac{1}{10000}\right)^{40}
]
Для очень маленького числа (\frac{1}{10000}), используем приближение для экспоненты:
[
\left(1 - \frac{1}{10000}\right)^{40} \approx e^{-\frac{40}{10000}} = e^{-0.004}
]
Расчет:
[
e^{-0.004} \approx 1 - 0.004 + \frac{0.004^2}{2} \approx 1 - 0.004 + 0.000008 = 0.996008
]
Следовательно, вероятность успеха:
[
P_{успех} \approx 1 - 0.996008 = 0.003992
]
или около 0.399%.
Итог:
Вероятность того, что мошенники взломают пин-код за 40 попыток, примерно 0.4%.
