Стороны треугольника образуют арифметическую прогрессию; его площадь равна 3/5 площади равностороннего треугольника с тем же периметром. Найдите соотношение сторон данного…

Рассмотрим задачу поэтапно.

Дано:

• Стороны треугольника образуют арифметическую прогрессию.
• Его площадь равна \(\frac{3}{5}\) площади равностороннего треугольника с тем же периметром.
• Нужно найти соотношение сторон этого треугольника в виде тройки взаимно простых натуральных чисел.

---

Шаг 1. Обозначение сторон

Пусть стороны треугольника, образующие АП, это \(a - d\), \(a\), \(a + d\):

• Поскольку стороны образуют арифметическую прогрессию, разность — \(d\).
• Стороны: \(\{a - d, a, a + d\}\).

---

Шаг 2. Периметр и площадь равностороннего треугольника

Периметр данного треугольника:

\[ P = (a - d) + a + (a + d) = 3a. \]

Обозначим периметр равен \(P = 3a\).

---

Площадь равностороннего треугольника с таким же периметром:

Длина стороны равностороннего треугольника:

\[ s = \frac{P}{3} = a. \]

Площадь равностороннего треугольника:

\[ S_{eq} = \frac{\sqrt{3}}{4} s^2 = \frac{\sqrt{3}}{4} a^2. \]

---

Шаг 3. Площадь исходного треугольника

Площадь треугольника со сторонами \(a - d,\; a,\; a + d\):

Используем формулу герона:

\[ S = \sqrt{s(s - a_1)(s - a_2)(s - a_3)}, \] где \(s = \frac{a - d + a + a + d}{2} = \frac{3a}{2}\) — полупериметр.

Подставим стороны: \[ s - (a - d) = \frac{3a}{2} - (a - d) = \frac{3a}{2} - a + d = \frac{a}{2} + d, \] \[ s - a = \frac{3a}{2} - a = \frac{a}{2}, \] \[ s - (a + d) = \frac{3a}{2} - a - d = \frac{a}{2} - d. \]

Итак,

\[ S = \sqrt{\frac{3a}{2} \times \left(\frac{a}{2} + d\right) \times \frac{a}{2} \times \left(\frac{a}{2} - d\right)}. \]

---

Шаг 4. Выражение через известные параметры

Обозначим:

\[ S_{1} = \frac{3a}{2} \times \frac{a}{2} \times \left(\frac{a}{2} + d\right) \times \left(\frac{a}{2} - d\right). \]

Обратите внимание, что \(\left(\frac{a}{2} + d\right) \times \left(\frac{a}{2} - d\right) = \left(\frac{a}{2}\right)^2 - d^2 = \frac{a^2}{4} - d^2\).

Тогда,

\[ S = \sqrt{\frac{3a}{2} \times \frac{a}{2} \times \left(\frac{a^2}{4} - d^2\right)}. \]

Произведение:

\[ S = \sqrt{\frac{3a}{2} \times \frac{a}{2} \times \left(\frac{a^2}{4} - d^2\right)} = \sqrt{\frac{3a^2}{4} \times \left(\frac{a^2}{4} - d^2\right)}. \]

Множители:

\[ S = \sqrt{\frac{3 a^2}{4} \left(\frac{a^2}{4} - d^2\right)}. \]

---

Шаг 5. Условие соотношения площадей

По условию,

\[ S = \frac{3}{5} S_{eq} = \frac{3}{5} \times \frac{\sqrt{3}}{4} a^2. \]

Запишем:

\[ \sqrt{\frac{3 a^2}{4} \left(\frac{a^2}{4} - d^2\right)} = \frac{3}{5} \times \frac{\sqrt{3}}{4} a^2. \]

Возьмем оба выражения под корень, возводим обе стороны в квадрат:

\[ \frac{3 a^2}{4} \left(\frac{a^2}{4} - d^2\right) = \left(\frac{3}{5} \times \frac{\sqrt{3}}{4} a^2\right)^2. \]

Правая часть:

\[ \left(\frac{3}{5} \times \frac{\sqrt{3}}{4} a^2\right)^2 = \frac{9}{25} \times \frac{3}{16} a^4 = \frac{27}{400} a^4. \]

Левая часть:

\[ \frac{3 a^2}{4} \left(\frac{a^2}{4} - d^2\right) = \frac{3 a^2}{4} \times \frac{a^2 - 4 d^2}{4} = \frac{3 a^2}{4} \times \frac{a^2 - 4 d^2}{4} = \frac{3 a^2 (a^2 - 4 d^2)}{16}. \]

Таким образом,

\[ \frac{3 a^2 (a^2 - 4 d^2)}{16} = \frac{27}{400} a^4. \]

Множим обе части на 400:

\[ 400 \times \frac{3 a^2 (a^2 - 4 d^2)}{16} = 27 a^4, \] \[ 25 \times 3 a^2 (a^2 - 4 d^2) = 27 a^4, \] \[ 75 a^2 (a^2 - 4 d^2) = 27 a^4. \]

Делим обе части на \(a^2\):

\[ 75 (a^2 - 4 d^2) = 27 a^2, \]

раскроем скобки:

\[ 75 a^2 - 300 d^2 = 27 a^2, \] \[ 75 a^2 - 27 a^2 = 300 d^2, \] \[ 48 a^2 = 300 d^2, \] \[ \frac{48}{300} a^2 = d^2, \] \[ \frac{8}{50} a^2 = d^2, \] \[ \frac{4}{25} a^2 = d^2. \]

Итак,

\[ d^2 = \frac{4}{25} a^2, \] \[ d = \pm \frac{2}{5} a. \]

Поскольку стороны должны быть положительными, берем:

\[ d = \frac{2}{5} a. \]

---

Шаг 6. Неформальные стороны треугольника

Положительные стороны:

\[ a - d = a - \frac{2}{5} a = \frac{3}{5} a, \]

\[ a, \]

\[ a + d = a + \frac{2}{5} a = \frac{7}{5} a. \]

Чтобы получить натуральные взаимно простые числа, умножим все стороны на 5:

\[ a_{1} = 3, \quad a_{2} = 5, \quad a_{3} = 7. \]

---

Ответ:

Порядок по возрастанию:

\[ \boxed{3, \; 5, \; 7}. \]

Эта тройка взаимно простых натуральных чисел — искомое соотношение сторон треугольника.

---

Если нужно, я могу еще объяснить шаги или проверить полученное решение.