Давайте решим задачу пошагово и подробно объясним каждый этап.
Задача:
В школе есть 7 учителей математики и 6 учителей информатики. Нужно сформировать экзаменационную комиссию, состоящую из 2 учителей информатики и 4 учителей математики. Вопрос: сколько всего таких комиссий можно составить?
Шаг 1: Определение условий
- Учителя математики — всего 7, нужно выбрать 4.
- Учителя информатики — всего 6, нужно выбрать 2.
- Выбираем независимыми группами (комбинациями) — то есть выбор учителей по каждому предмету не зависит друг от друга.
Шаг 2: Использование формулы сочетаний
Общее число способов выбрать определенное количество учителей из данного множества вычисляется по формуле сочетаний:
[
C(n, k) = \frac{n!}{k! \times (n - k)!}
]
где:
- ( n ) — общее число учителей,
- ( k ) — число учителей, которых нужно выбрать.
Шаг 3: Вычисление количества вариантов для каждого предмета
- Для математики: ( C(7, 4) )
- Для информатики: ( C(6, 2) )
Шаг 4: Вычисляем каждое сочетание
[
C(7, 4) = \frac{7!}{4! \times (7-4)!} = \frac{7!}{4! \times 3!}
]
Рассчитаем:
[
7! = 7 \times 6 \times 5 \times 4!
]
Подставим:
[
C(7, 4) = \frac{7 \times 6 \times 5 \times 4!}{4! \times 3 \times 2 \times 1} = \frac{7 \times 6 \times 5}{3 \times 2 \times 1}
]
Вычисляем числитель и знаменатель:
[
7 \times 6 \times 5 = 210, \quad 3 \times 2 \times 1 = 6
]
Делим:
[
C(7, 4) = \frac{210}{6} = 35
]
Теперь для информатики:
[
C(6, 2) = \frac{6!}{2! \times (6-2)!} = \frac{6!}{2! \times 4!}
]
Рассчитаем:
[
6! = 6 \times 5 \times 4!
]
Подставим:
[
C(6, 2) = \frac{6 \times 5 \times 4!}{2 \times 1 \times 4!} = \frac{6 \times 5}{2 \times 1} = \frac{30}{2} = 15
]
Шаг 5: Общие способы выбора
Общее число способов — это произведение двух полученных значений, так как выборы независимы:
[
Общее = C(7, 4) \times C(6, 2) = 35 \times 15 = 525
]
Итог:
Ответ: (\boxed{525}) способов сформировать такую комиссию.
Если хотите, я могу объяснить подробнее любой из шагов!
