Решить дифференциальное уравнение y’ + ((x/(1-x^2)*y) = (1/(1-x^2)
Давайте решим данное дифференциальное уравнение. Обозначим его:
\[ y' + \frac{x}{1 - x^2} y = \frac{1}{1 - x^2} \]
Это уравнение линейное вида:
\[ y' + P(x) y = Q(x) \]
где:
\[ P(x) = \frac{x}{1 - x^2} \] \[ Q(x) = \frac{1}{1 - x^2} \]
Шаг 1: Найдём интегрирующий множитель \( \mu(x) \)
Интегрирующий множитель для такого уравнения равен:
\[ \mu(x) = e^{\int P(x) dx} \]
Посчитаем:
\[ \int P(x) dx = \int \frac{x}{1 - x^2} dx \]
Шаг 2: Обчисление интеграла
Рассмотрим интеграл:
\[ \int \frac{x}{1 - x^2} dx \]
Используем подстановку:
\[ u = 1 - x^2 \quad \Rightarrow \quad du = -2x dx \]
откуда:
\[ x dx = -\frac{1}{2} du \]
Подставим в интеграл:
\[ \int \frac{x}{1 - x^2} dx = -\frac{1}{2} \int \frac{1}{u} du = -\frac{1}{2} \ln |u| + C = -\frac{1}{2} \ln |1 - x^2| + C \]
Шаг 3: Интегрирующий множитель
Следовательно,
\[ \mu(x) = e^{-\frac{1}{2} \ln |1 - x^2|} = |1 - x^2|^{-\frac{1}{2}} \]
или, если рассматривать \( 1 - x^2 > 0 \),
\[ \boxed{\mu(x) = \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}}} \]
Шаг 4: Умножение уравнения на интегрирующий множитель
Уравнение:
\[ y' + P(x) y = Q(x) \]
при умножении на \( \mu(x) \):
\[ \frac{d}{dx} \left( \mu(x) y \right) = \mu(x) Q(x) \]
подставляем перефир:
\[ \frac{d}{dx} \left( \frac{y}{\sqrt{1 - x^2}} \right) = \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}} \cdot \frac{1}{1 - x^2} \]
или:
\[ \frac{d}{dx} \left( \frac{y}{\sqrt{1 - x^2}} \right) = \frac{1}{(1 - x^2)^{3/2}} \]
Шаг 5: Интегрирование левой части
Интегрируем обе части:
\[ \frac{y}{\sqrt{1 - x^2}} = \int \frac{1}{(1 - x^2)^{3/2}} dx + C \]
Шаг 6: Найдём интеграл справа
Рассмотрим:
\[ \int \frac{1}{(1 - x^2)^{3/2}} dx \]
Из таблицы интегралов или с помощью гиперболических substitution:
\[ \int \frac{1}{(1 - x^2)^{3/2}} dx = \frac{x}{\sqrt{1 - x^2}} + C \]
(это стандартный интеграл)
Финальное решение:
\[ \frac{y}{\sqrt{1 - x^2}} = \frac{x}{\sqrt{1 - x^2}} + C \]
умножим обе части на \( \sqrt{1 - x^2} \):
\[ y = x + C \sqrt{1 - x^2} \]
Итог: общее решение уравнения
\[ \boxed{ y(x) = x + C \sqrt{1 - x^2} } \]
где \( C \) — произвольная константа.
Если есть дополнительные условия или нужно пояснение — спрашивайте!
