Решить дифференциальное уравнение y’ + ((x/(1-x^2)*y) = (1/(1-x^2)

Давайте решим данное дифференциальное уравнение. Обозначим его: \[ y' + \frac{x}{1 - x^2} y = \frac{1}{1 - x^2} \] Это уравнение линейное вида: \[ y' + P(x) y = Q(x) \] где: \[ P(x) = \frac{x}{1 - x^2} \] \[ Q(x) = \frac{1}{1 - x^2} \] --- ### Шаг 1: Найдём интегрирующий множитель \( \mu(x) \) Интегрирующий множитель для такого уравнения равен: \[ \mu(x) = e^{\int P(x) dx} \] Посчитаем: \[ \int P(x) dx = \int \frac{x}{1 - x^2} dx \] --- ### Шаг 2: Обчисление интеграла Рассмотрим интеграл: \[ \int \frac{x}{1 - x^2} dx \] Используем подстановку: \[ u = 1 - x^2 \quad \Rightarrow \quad du = -2x dx \] откуда: \[ x dx = -\frac{1}{2} du \] Подставим в интеграл: \[ \int \frac{x}{1 - x^2} dx = -\frac{1}{2} \int \frac{1}{u} du = -\frac{1}{2} \ln |u| + C = -\frac{1}{2} \ln |1 - x^2| + C \] --- ### Шаг 3: Интегрирующий множитель Следовательно, \[ \mu(x) = e^{-\frac{1}{2} \ln |1 - x^2|} = |1 - x^2|^{-\frac{1}{2}} \] или, если рассматривать \( 1 - x^2 > 0 \), \[ \boxed{\mu(x) = \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}}} \] --- ### Шаг 4: Умножение уравнения на интегрирующий множитель Уравнение: \[ y' + P(x) y = Q(x) \] при умножении на \( \mu(x) \): \[ \frac{d}{dx} \left( \mu(x) y \right) = \mu(x) Q(x) \] подставляем перефир: \[ \frac{d}{dx} \left( \frac{y}{\sqrt{1 - x^2}} \right) = \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}} \cdot \frac{1}{1 - x^2} \] или: \[ \frac{d}{dx} \left( \frac{y}{\sqrt{1 - x^2}} \right) = \frac{1}{(1 - x^2)^{3/2}} \] --- ### Шаг 5: Интегрирование левой части Интегрируем обе части: \[ \frac{y}{\sqrt{1 - x^2}} = \int \frac{1}{(1 - x^2)^{3/2}} dx + C \] --- ### Шаг 6: Найдём интеграл справа Рассмотрим: \[ \int \frac{1}{(1 - x^2)^{3/2}} dx \] Из таблицы интегралов или с помощью гиперболических substitution: \[ \int \frac{1}{(1 - x^2)^{3/2}} dx = \frac{x}{\sqrt{1 - x^2}} + C \] (это стандартный интеграл) --- ### Финальное решение: \[ \frac{y}{\sqrt{1 - x^2}} = \frac{x}{\sqrt{1 - x^2}} + C \] умножим обе части на \( \sqrt{1 - x^2} \): \[ y = x + C \sqrt{1 - x^2} \] --- ## Итог: общее решение уравнения \[ \boxed{ y(x) = x + C \sqrt{1 - x^2} } \] где \( C \) — произвольная константа. --- Если есть дополнительные условия или нужно пояснение — спрашивайте!